计算科学 - 计算给定旋度和零散度的二维速度场 - 吾爱随笔录

给定 $\omega$ 我想计算向量 $q=(u,v)$ 这样

v_{x} - u_{y} = ω, u_{x} + v_{y} = 0, in Ω

$v_x - u_y = \omega, \qquad u_x + v_y = 0, \qquad \textrm{in } \Omega$ 和

u n_{x} + v n_{y} = 0, on \partial Ω

$u n_x + v n_y = 0, \qquad \textrm{on } \partial\Omega$ 我正在寻找一种有限元方法来找到这样的矢量场。

我可以介绍一个流功能 $\psi$ 这样

Δ ψ = - ω

$\Delta\psi = -\omega$ 然后

(u, v) = (ψ_{y}, - ψ_{x})

$(u,v) = (\psi_y, -\psi_x)$ . 解决这个数字我会得到

ψ^{h} \in P_{k}

$\psi^h \in P_k$ 但是之后

(u^{h}, v^{h}) = (ψ_{y}^{h}, - ψ_{x}^{h})

$(u^h, v^h) = (\psi_y^h, -\psi_x^h)$ 元素时，速度的法向分量不会在元素之间连续。

C^{0}

$C^0$

所以我想获得一个具有指定卷曲的全局无散矢量场。

投影到 Raviart-Thomas 空间

我得到 $\psi^h \in P_k$ 然后投影到 $RT_k$ ：找 $q^h \in RT_k$ 这样

\int_{Ω} q^{h} \cdot w d x = \int_{Ω} (ψ_{y}^{h}, - ψ_{x}^{h}) \cdot w d x, \forall w \in R T_{k}

$\int_\Omega q^h \cdot w dx = \int_\Omega (\psi^h_y, -\psi^h_x) \cdot w dx, \qquad \forall w \in RT_k$ 我可以检查结果

q^{h}

$q^h$ 确实具有零散度并且收敛误差

O (h^{k})

$O(h^k)$ 这似乎不是最佳的。我不知道如何证明这些事情，但我想这一定已经在某个地方发布了。我正在寻找有关这种投影的一些参考。

但我也很想知道我们是否可以计算 $q$ 不使用流函数。