我正在尝试求解非线性椭圆方程
并且有一个严重的误解。
我想求解一些非线性方程的过程包括：
- 选择适当的近似方法（FEM、FVM、FDM 等）。
- 所得非线性代数方程组的线性化。
- 选择求解代数系统的适当方法。
是否可以反转步骤 1 和 2，即我可以先线性化 PDE，然后才能执行一些离散化？所有这些步骤都是严格必要的吗？它们是否需要按此顺序进行？
pde数值解和非线性方程三步
计算科学
pde
非线性方程
离散化
椭圆pde
2021-12-21 15:55:54
2个回答
可以切换线性化和离散化。然后线性化发生在函数空间中，其中可以使用基于微分算子的 Fréchet 导数的牛顿方法。
对于每次牛顿迭代，都需要解决一个线性问题。在你的情况下，这个问题可能是椭圆的（取决于）。对于实际计算，这个线性问题需要使用您选择的方法进行离散化（如果问题是椭圆的，可能是 FEM）。
由于牛顿迭代现在发生在函数空间中，只要前一个网格的网格转移算子（例如插值）可用，每个线性问题都可以在其自己的单独网格上求解。
对于每一个牛顿步，在空间离散化之后，需要求解一个线性方程组。这一步出现在最后，不能切换。
请参阅deal.ii 教程的第 15 步，了解此方法的一个已制定示例。
您不能反转步骤 1 和 2。因为不同的数值方法具有不同的线性化形式。