如果双线性形式是对称的（包括您选择施加边界条件的任何方式），并且您选择使用相同类型的试验和测试函数，则矩阵将是对称的。您可以通过写出问题的形式来看到这一点：

如果算子，刚度矩阵是对称的$L$的 PDE 是自伴随的，即如果你有$\langle Lf,g\rangle = \langle f,Lg\rangle$对于任何一对函数$(f,g)$在合适的函数空间中，其中$\langle u,v\rangle$表示两个函数之间的内积$u,v$， 例如$\int_\Omega uv dx$($L_2$内积）。

刚度矩阵是通过投影 PDE 获得的$Lf = g$在有限元函数基础上$(\Phi_i)$, 形式如下：$\forall i, \langle Lf,\Phi_i\rangle = \langle g, \Phi_i\rangle$（Galerkin 公式），然后在表格中寻找解决方案$f = \sum \alpha_j \Phi_j$，通过将第二个方程注入第一个方程，您可以得到离散方程，形式为$K \alpha = B \beta$， 在哪里$\alpha$是未知数的向量（函数基础中解的坐标$(\Phi_i)$),$\beta$是投影到函数基础上的 RHS ($\beta_i = \langle g, \Phi_i\rangle$),$B$是质量矩阵 ($b_{i,j} = \langle \Phi_i,\Phi_j\rangle$) 和矩阵的系数$k_{i,j} = \langle L \Phi_i, \Phi_j\rangle$. 因此，如果运营商$L$是自伴随的，你有$\langle L \Phi_i, \Phi_j\rangle = \langle L \Phi_j, \Phi_i\rangle$和矩阵$K$是对称的。

这是最常见的偏微分方程的情况，但是当物理变得更复杂时也有例外......