您需要添加以下条件$u(c) = T_c$作为通过拉格朗日乘数的显式约束。为简单起见，假设$T_e=0$（否则构造一个$u_e$这样$u_e|_{\partial\Omega} = T_e$并将其添加到具有齐次边界条件的解中，将约束移动$T_c-u_e(c)$）。

你知道的解决方案$-\Delta u = 0$解决最小化问题

$$\min_{u\in H^1_0(\Omega)} \int_\Omega |\nabla u|^2 \,dx.$$ 强制执行约束$u(c)=T_c$, 你考虑拉格朗日泛函 $$\max_{\lambda\in\mathbb{R}} \min_{u\in H^1_0(\Omega)} \int_\Omega |\nabla u|^2 \,dx + \lambda(u(c)-T_c).$$ 这个问题的必要最优条件是（形式上）通过微分获得的$u$和$\lambda$： $$\begin{align} \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v + \lambda v(c)&= 0 \quad\text{for all } v\in H^1_0(\Omega)\\ (u(c) - T_c)\mu &=0 \quad\text{for all }\mu\in\mathbb{R}. \end{align}$$ （请注意，除了 1D 之外，函数$H^1(\Omega)$不连续，因此没有点值。您可能应该用一个小的子域上的平均值替换点值。对于有限元离散化，您移动到分段多项式的子空间，其中点值是有意义的。）

有关偏微分方程鞍点问题的详细信息，请参见 Dietrich Braess，Finite Elements，剑桥大学出版社，2007 年，第 III.4 章。

从数学的角度来看，你不能做你想做的事情：问题

$$\Delta u = 0 \qquad \text{in } \Omega, \\ u = T_e \qquad \text{on } \partial\Omega, \\ u(c) = T_c \qquad \qquad\qquad\text{}$$ 一般来说，没有解决方案。这是因为，从数学上讲，拉普拉斯方程的解空间，$H^1$, 由可能不连续的函数组成，因此取点值没有意义，例如$u(c)$.

对这个问题的另一种解释是认识到如果$T_c>T_e$然后会有热量从$c$到边界，因此有人将不得不在$c$. 但是将有限的热量放入一个点（面积为零）意味着拥有一个可以产生无限热通量的设备——这几乎不现实。

您尝试做的事情的解决方案是假设您能够施加温度的区域$T_c$是有限的，即考虑一个在中心有一个有限大小的洞的域。

根据之前的一些答案，我认为您在建模中面临着一些选择。如果您被迫使用笛卡尔无偏斜网格（从您的问题中不清楚您使用的是什么离散化），这会有点困难，因为如前所述，您需要切断中心几个单元的有限区域一旦你尝试解决这个问题，你可能会遇到角落问题。

如果您可以制作任意网格，我可以建议使用圆形网格（不是正方形），这意味着您可以使用对称属性来减少问题的维度。然后，您可以将结果与以下形式的分析解决方案进行比较：

$T(r) = (T_1 - T_0)\frac{\ln{\frac{r}{r_0}}}{\ln{\frac{r_1}{r_0}}}+ T_0$

你可以看到$r_0 \rightarrow 0$，原点的温度变得不确定，因为您的热通量（正或负）将变得无限。

我不确定口译$\nabla u=0$作为热扩散，假设它对应于时间相关（抛物线）方程的稳态$u_t=\nabla u$. 对我来说，含义更接近于定义域边界处指定值的插值$\partial \Omega$. 这些值肯定决定了功能$u$，因此如果它们在半径为 1 的球上设置为零，则函数同样为零。这与解的公式一致$\nabla u=0$和$u=f$在边界处，由下式给出：

$u(x)=\frac{-1}{\omega_n} \int_{|s|=1} \frac{-1+|x|^2}{|s-x|^n} f(s) ds, x \in \Omega$

为了$| \cdot |$欧几里得空间的范数。

此外，具有最大值的内点违反了所有调和函数的最大原则。

因此，我不确定单位球上的边界问题是否在其边界处具有恒定温度并且在内部点处具有另一个温度，它是否适合$\nabla u=0$. 至少内部点应该被移除，所以域变成了一种球面带。

换句话说，鉴于解决方案$\nabla u=0$取决于在域边界上设置的函数值和边界形状本身，在基本解（由径向解给出）的情况​​下，这些是什么？此外，是否根据边界形状和值对通用（基本）解决方案进行分类？