决定是否进行 p- 或 h- 自适应是为了实现更快的、潜在的指数收敛速度。换句话说，以最小的计算量获得具有给定误差的解决方案。

将考虑限制在椭圆问题上。如果您进行 h 或 p 自适应，则近似解可以收敛到精确解。如果精确解是平滑的，那么在进行 p 自适应时收敛会更快。要查看这个先验误差估计器， 其中是基函数的多项式阶。如果解是平滑的，则高阶导数会快速接近零，因此先验误差估计器。所以如果你增加基函数的顺序，你很快就会收敛到一个精确的解决方案。

$$\begin{equation} \| u - u^h \| \leq C h^p \left\| \frac{\partial^{p+1} u}{\partial x^{p+1}} \right\| \end{equation}$$ $p$

不幸的是，如果解决方案不规则，例如如果您有奇点，那将不起作用。高阶导数是无界的，与 h 自适应相比，p 自适应给出了具有更大计算成本的解决方案。

作为示例，请参阅具有运输问题的 L 形车身， 有关详细信息，请参阅此处http://mofem.eng.gla.ac.uk/mofem/html/mix_transport.html。此处应用了混合公式，但经典有限元也是如此。您可以看到 h- 和 p- 自适应性都显示出收敛性，但是如果您在奇点处进行 h- 细化，您将获得最快的收敛性。