计算科学 - 动态线性弹性问题是僵硬的（数值上） - 吾爱随笔录 - 问答

动态线性弹性问题是僵硬的（数值上）

计算科学 pde 固体力学

2021-11-27 05:02:58

我正在考虑将动态线性弹性问题应用于梁等简单结构。在系统形式中，偏微分方程可以写为其中表示梁上各个点和方向的偏转矢量。 $M \ddot{X} + D \dot{X} + XK = F$ $X$ $x$ $y$

根据我发现的一个存储库（链接在这里），解决这个动态问题的标准方法是通过 Newmark 方案。

天真地，您为什么不能将其转换为一阶系统，例如并使用向后/向前欧拉解决这个问题？ $A \dot{Y} + BY = C$

还是众所周知，动态线性弹性问题是僵硬的？

1个回答

将二阶系统转换为一阶形式，然后使用适当的数值方法求解它绝对没有错。可以使用隐式和显式欧拉方法。然而，两者都只有一阶精度，即误差与时间步长成正比。当然，除非时间步长足够小，否则显式欧拉是不稳定的。

写出解可以得到具有二阶精度的方法

\frac{d y}{d t} = f (y, t)

$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$

作为

y_{n + 1} = y_{n} + h [θ (t_{n}, y_{n}) + (1 - θ) f (t_{n + 1}, y_{n + 1})]

$y_{n+1} = y_n + h [\theta ( t_n, y_n) + (1 - \theta ) f ( t_{n+1}, y_{n+1})]$ 其中是时间步长，。选择给出隐式欧拉，给出显式欧拉，给出二阶精确梯形方法。

h

$h$

h = t_{n + 1} - t_{n}

$h=t_{n+1}-t_n$

θ = 0

$\theta=0$

θ = 1

$\theta=1$

θ = 1 / 2

$\theta=1/2$

用于求解二阶 ODE 的 Newmark 数值“方法”实际上是一系列方法，其中可以通过选择和参数的值来选择特定的方法。该系列中更流行的方法之一是通过选择和来获得，这在时间步长上给出了恒定的加速度和线速度。在二阶方程上使用这种方法与在方程的一阶版本上使用梯形法得到相同的结果。 $\beta$ $\gamma$ $\beta=1/4$ $\gamma=1/2$

我不会说弹性方程本质上是僵硬的。当使用 FEM 或其他方法在空间中对它们进行离散时，会产生刚度。随着空间网格的细化，ODE 系统变得更加僵硬。这就是为什么隐式 ODE 方法经常用于这些类型的问题。

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