计算科学 - 一般非均匀网格上周期函数的梯形规则（线性牛顿-科茨积分）收敛 - 吾爱随笔录

计算科学正交

2021-12-16 06:40:31

对于规则间隔网格上的周期函数，梯形规则应该收敛得非常快（误差估计减少为 $O(e^{-\eta/h})$ 对于步长 $h$ ）。

但是，我不相信这对于非均匀网格是正确的。非均匀网格的误差估计是多少，它是如何收敛的？（特别是对数网格，但如果可能，更普遍）。

1个回答

梯形规则是一种插值求积法，您在每个间隔上都会产生一个与其他间隔无关的错误。特别是，如果您有一组不相交的间隔 $I_i$ 大小的 $h_i$ 以便 $\bigcup_i I_i = I=[a,b]$ 是您要积分的区间，则总误差由以下形式的表达式给出

e = \sum_{i} h_{i}^{3} ζ_{i}

$e = \sum_i h_i^3 \zeta_i$ 在哪里

ζ_{i}

$\zeta_i$ 是对区间上被积函数的二阶导数的度量

i

$i$ . 特别是，如果函数是线性的，则误差为零。此外，由于间隔的数量与

1 / h

$1/h$ 在均匀网格的情况下，您会得到形式的错误界限

e = O (h^{2}) .

$e = {\cal O}(h^2).$

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