计算科学 - 线性系统平稳迭代法的收敛条件 - 吾爱随笔录

线性系统平稳迭代法的收敛条件

计算科学迭代法运算符拆分矩阵方程

2021-12-04 08:21:17

最近，我获得了一个线性系统，其中是一个非奇异的、严格对角占优的矩阵。然后我还得到了一个矩阵分裂，其中也是一个非奇异的、严格对角占优的矩阵。所以我建立了一个固定迭代方案如下，根据数值结果，似乎这种迭代方案总是收敛的。从理论分析来看是否合理？那么，我们能证明这个迭代方案的收敛性吗？即，显示，其中是光谱半径。 $Ax = b$ $A$ $M$ $A = S - T$ $S$ $M$

S x^{(k + 1)} = T x^{(k)} + b .

$Sx^{(k+1)} = Tx^{(k)} + b.$

ρ (S^{- 1} T) < 1

$\rho(S^{-1}T) < 1$

ρ (\cdot)

$\rho(\cdot)$

1个回答

您可以通过满足您注意到的光谱半径关系来证明收敛，选择和使得。 $S$ $T$ $\rho(S^{-1}T) < 1$

这是通过首先根据您的运算符拆分编写两个方程来实现的：

S x = T x + b

$Sx = Tx + b$

S x^{(k + 1)} = T x^{(k)} + b

$Sx^{(k+1)} = Tx^{(k)} + b$

其中是精确解，是次迭代的解。 $x$ $x^{(k)}$ $k^{th}$

现在假设错误可以定义为：。基于这种关系和上面的两个方程，你最终得到： $e^{(k)} = x - x^{(k)}$

S e^{(k + 1)} = T e^{(k)}

$Se^{(k+1)} = Te^{(k)}$

e^{(k + 1)} = (S^{- 1} T) e^{(k)}

$e^{(k+1)} = (S^{-1}T) e^{(k)}$

根据得到的方程，收敛为需要满足的条件是，正如你提到的. 您如何证明这种光谱半径不等式取决于的形式，具体取决于您对和的选择。 $e^{(k+1)}$ $k \rightarrow \infty$ $\rho(S^{-1}T) < 1$ $S^{-1}T$ $S$ $T$

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