如何使用傅里叶变换求解一维的 Fisher-Kolmogorov 方程？

$$\begin{equation} u_t(x,t) = u_{xx}(t) + u(1-u) \end{equation}$$

$$\begin{equation} u(0,x) = \phi(x) \end{equation}$$

与狄利克雷

$$\begin{equation} u(0,t)=0 \\ u(1,t)=0 \end{equation}$$

和 Neumann 边界条件

$$\begin{equation} u_x(0,t)=0\\ u_x(1,t)=0 \end{equation}$$

我可以执行以下操作吗？

$$\begin{equation} F\{u(x,t)\}=\hat{u}(k,t) = \int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)e^{-ikx}dx \end{equation}$$

$$\begin{equation} \hat{u}_t(k,t) = (ik)^2\hat{u}(k) + F\{u(x,y)(1-u(x,t))\} \\ u_t(x,t)=F^{-1} \{ (ik)^2\hat{u}(k) \} + u(x,y)(1-u(x,t)) \end{equation}$$

这是一个简单的一维 Matlab 实现：

使用正向欧拉进行 250 次迭代后$\Delta t = 0.01$，解决方案看起来像