假设我有一个如下形式的随机偏微分方程：

$\nabla^2U=F(x,D)$，其中 和是取决于位置和均匀随机系数 D的函数。$x\in\Omega\equiv [0,1]$$F(x,D)$$x$

通过蒙特卡罗模拟可以很容易地获得一个近似的随机解。也就是说，我可以随机选择不同的 D 值，通过某种数值方案获得 PDE 的近似解，然后将这些解累积到空间中的直方图 bin 中。$X-U$

现在，让我们假设函数不依赖于单个随机参数，而是依赖于随机参数向量。为简单起见，我们假设的每个分量具有相同的概率分布。让我们进一步假设 F 的每个分量仅是单个唯一随机参数的函数。然后，$F$$\vec{D}$$\vec{D}$

1. 与 1 个随机参数情况相比，蒙特卡罗方法需要更多的样本吗？如果是这样，我如何根据样本大小和随机参数数量来量化收敛速度？

2. 是否有更有效的方法来近似随机 pde 的解，在随机参数向量的情况下需要更少的随机样本？

更新：

我找到了这个演示文稿（幻灯片 #50），它提出了与我上面提出的问题类似的问题。幻灯片 #52 提出了一种稀疏网格方法来解决这个问题，但没有给出关于这种方法的太多细节。我真的很好奇它的实现细节以及它是否可以应用于我上面提出的问题。