计算科学 - 如何从有限差分 (FD) 波模拟中计算色散关系 - 吾爱随笔录

我有一个 python 代码，可以计算具有任何速度和源配置的 2D 介质的非均匀声波方程的解。它是使用来自以下方程组的有限差分来实现的：

ρ (r) \nabla \cdot (\frac{1}{ρ (r)} \nabla p (r, t)) - \frac{1}{c^{2} (r)} \frac{\partial^{2} p (r, t)}{\partial^{2} t} = - s (r, t)

$\rho( \mathbf{r}) \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{1}{\rho (\mathbf{r})} \mathbf{\nabla} p(\mathbf{r},t) \right) - \frac{1}{c^2(\mathbf{r})} \frac{\partial^2 p(\mathbf{r},t)}{\partial^2 t} = -s(\mathbf{r},t)$

在哪里，

s (r, t) = ρ (r) \frac{\partial^{2} i_{v} (r, t)}{\partial^{2} t}

$s(\mathbf{r},t) = \rho( \mathbf{r}) \frac{\partial^2 i_v(\mathbf{r},t)}{\partial^2 t}$

和传播速度

c (r) = \sqrt{\frac{κ (r)}{ρ (r)}}

$c(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{\kappa(\mathbf{r})}{\rho(\mathbf{r})}}$

其中，为介质的绝热压缩模量，为源，为介质的密度。 $\mathbf{\kappa}$ $i_v$ $\rho$

FD 模式在时间上使用二阶离散化，在空间上使用四阶离散化，并针对 2D 空间实现。

我的问题是如何从数值模拟中计算代码的色散关系？事实上，我想计算相速度色散。 $v(k) = \frac{\omega(k)}{k}$

我想这样做以与文献中的预期关系进行比较。我预计它会随着不同的网格角度、源频率和稳定性参数而变化。我知道如何在我的模拟中输入这些，但我不知道如何使用结果（2D 时间面板）来建立色散关系。