背景我想学习如何耦合 FEM 和 BEM（对于泊松方程），因为我想更好地了解开放边界条件的样子。因此，我完成了 Martin Costabe 1986 年暑期课程讲座（28 页）的“边界元方法原理”的相关部分。最后一节提供了耦合的公式，这导致了一个对称的鞍点问题。当然，我更喜欢对称正定问题。

即使没有边界元法，域耦合的某些公式也会导致鞍点问题。考虑两个域$\Omega_1$和$\Omega_2$有共同的边界$\Gamma$, 并建立具有齐次 Neumann 边界条件的 Poisson 方程$\Gamma$在这两个领域。为了耦合两个域，要求势能在边界上一致，并通过拉格朗日乘数添加此限制的转置（以解释以下事实：$\Gamma$不再限制为 0，而必须只与另一边的正规导数一致）。得到的线性系统的矩阵的块结构是

$\pmatrix{A_1 & 0 & B_1 \\ 0 & A_2 & B_2 \\ C_1 & C_2 & 0}$

这里$C_1 = B_1^T$和$C_2 = B_2^T$.

在这种情况下，$C_1$和$C_2$有一个简单的结构，比如$C_1=\pmatrix{0 & I}$和$C_2 = \pmatrix{-I & 0}$如果我们适当地对节点进行排序。因此，通常可以显式地消除约束和拉格朗日乘子。我的困惑是，生成的系统似乎比直接尝试解决初始鞍点问题更容易解决。

当我尝试将 FEM 和 BEM 耦合时，不同之处在于结构对我来说更复杂，而且我知道如何明确消除拉格朗日乘数。所以现在我试图理解为什么某些耦合域的方法首先会导致鞍点问题。我的一个猜测是，这个公式中出现的拉格朗日乘数有效地对应于内界面电位的正态导数。但是，为什么势能和势能的（方向）导数都出现的公式会导致鞍点问题呢？（是否有一个简单的为什么要避免鞍点问题，或者至少有一种简单的方法来解决由此产生的鞍点问题而不牺牲像 CG 这样的迭代求解器的性能？）