我正在研究鞍点问题的 inf-sup 条件。我指的是普通的

$$\begin{cases}Au + B^t p = f \\Bu=g \end{cases}$$ 在我正在使用的书中（Ern - Guermond：FEM 的理论和实践）他们说（第 100 页）

问题是很好提出的

• $$\exists \alpha >0: \inf_{u \in \ker(B)} \sup_{v \in \ker(B)} \frac{a(u,v)}{||u||_X ||v||_X} \geq \alpha$$
• $$\forall v \in \ker(B), \forall u \in \ker(B), a(u,v)=0 \implies v=0$$ [...然后我们还有 inf-sup on$B$，这对我来说现在不是问题]

我了解它们是如何得出它们的，但是，然后，看着我的讲义，我的教授用另一个 inf-sup替换了第二个条件

$$\exists \alpha >0: \inf_{v \in \ker(B)} \sup_{u \in \ker(B)} \frac{a(u,v)}{||u||_X ||v||_X} \geq \alpha$$

我搜索了很多书籍和讲义，但我仍然无法理解为什么上面的这个等同于第二个条件。特别是，我很清楚最后一个“inf-sup”必须严格大于$0$，但我不明白为什么常数$\alpha$必须相同。

我错过了什么？