这个答案是我一起编译和编辑的评论。我为重复道歉。

我会考虑以上任何事情$1/\sqrt{\epsilon_{\text{mach}}}$有问题，因此它取决于浮点系统。但这也取决于线性系统的大小。您可以创建条件数为 O(1000) 的小型线性系统 (3x3)，并且计算机找到的解决方案可能超出可接受的容差。一般来说，我告诉我的学生，如果他们使用双精度，危险区域从 1000 开始，如果超过，他们需要特别小心$1/\sqrt{\epsilon_{\text{mach}}}$.

我想指出，条件数与您使用的方法的稳定性没有太大关系。即使它是连接的，例如，如果您使用共轭梯度法，来自矩阵的误差也在 mat-vec 步骤。所以问题可能是由 mat-vec 操作的条件数而不是矩阵的条件数引起的。

正如 Federico Poloni 在评论中指出的那样，矩阵向量乘法问题的条件数从上面受矩阵的条件数限制$A$，例如$\|A\|\|A^{-1}\|$. 但是，我认为我们应该考虑更一般的 mat-vec条件数的界限：. 虽然我们可以立即将问题的条件数等于矩阵的条件数，但我通常看到它写为与。我相信这个想法是 mat-vec 和 msolve 是彼此的逆，如果其中一个是良条件的，另一个将是病态的，类似于乘法和除法（一些例外情况适用：和都是条件良好的）。因此，对于具有高条件数 msolves 的矩阵，仍然可能是这样的情况$Ax$$\|A\|\|x\|/\|Ax\|$$\alpha\kappa(A)$$\alpha=(\|x\|/\|Ax\|)/(\|A^{-1}\|)$$1\times x$$x/1$$(\|x\|/\|Ax\|)\ll \|A^{-1}\|$. 因此，mat-vec 操作的条件数可能远低于矩阵的条件数。作为一个极端的例子，如果是奇异仍然有意义并且可能是良条件的，但是和是一个不适定问题。$A$$Ax$$\kappa(A)=\infty$$A^{-1}x$

因此，如果算法的基本步骤存在与输入错误相关的问题，直接方法和 CG 都会遇到类似的问题。但这与传统观点不同，即病态问题很难独立于您使用的算法的稳定性来解决。

请注意，我对的任意选择对我来说基本上是一种启发式方法，根据我的经验，这正是事情开始破裂的地方。例如，相对幅度对矩阵（或右侧向量）的小扰动可能会导致高达，即使您假设您有一个完美的算法，它不会引入和传播错误并且不受浮点运算的影响。而且我的误差容限通常在级别，在双精度下接近 :)$1/\sqrt{\epsilon_{\text{mach}}}$$\epsilon_{\text{mach}}$$\sqrt{\epsilon_{\text{mach}}}$$10^{−8}$$\sqrt{\epsilon_{\text{mach}}}$