给定一个小的（无穷小）二维位移场，无穷小的逆时针旋转角就是$u = (u_x, u_y)$$\theta$

$$\theta = \frac 12 \left ( \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} \right )$$

一般而言，对于维位移场可以证明，无穷小的旋转由雅可比的斜对称部分描述： 即 这是与众所周知的事实有关，即（斜对称平方实矩阵）形成与特殊正交群（行列式为 1 的实正交矩阵）相关的李代数。$n$$u\in\mathbb{R}^n$

$$\mathbf{J} = \frac{\partial(u_1,\dots,u_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}$$ $$\mathbf{\Omega} = \frac12 \left ( \mathbf{J} - \mathbf{J}^T \right)$$ $\mathrm{so}(n)$$\mathrm{SO}(n)$

正如在另一个答案中已经指出的那样，可以很容易地从形状函数的导数和节点位移值中计算出来。$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$

编辑

对于线性形状函数，雅可比是常数。这意味着，其中，分别是位移和坐标的差，分别在元素内部的两个不同点处求值。如果选择两个节点，则是节点位移的差，而是表示元素对应边的向量。因此，对于三角形和四面体，有可能（作为练习留下的显式公式）直接从节点坐标和节点位移轻松计算请求的数量。$\Delta u = \mathbf{J} \Delta x$$\Delta u$$\Delta x$$\Delta u$$\Delta x$

您的方法似乎是正确的，但是如果您以合理的方式进行操作，则不应陷入“成百上千”的困境。万一你被它的机制所吸引，这里是你的过程的关键部分，更详细地列出了一些细节。我假设您可以计算变形梯度，因为您没有提供有关如何插值的任何详细信息。

1) 计算变形梯度$\mathbf{F}$

2) 计算极分解：。$\mathbf{F} = \mathbf{RU}$

2a) 求的特征值和特征向量。该张量具有与相同，其特征值是的特征值。您似乎正在使用 2x2 变形梯度，所以这应该很容易。$\mathbf{C} = \mathbf{F}^T \mathbf{F}$$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$$\mathbf{U}$$\{\lambda_1^2, \lambda_2^2\}$$\mathbf{U}$

2b)使用谱定理 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem。 $\mathbf{U}$

$$\mathbf{U} = \sum_i \lambda_i \;\mathbf{v}_i \otimes \mathbf{v}_i$$

3) 求解。同样，2x2 矩阵使这非常容易。$\mathbf{R} = \mathbf{U}^{-1}\mathbf{F}$

4) 利润（又名：后处理随你喜欢）。$\mathbf{R}$

正如@nicoguaro 在上面的评论中指出的那样，如果你有线性插值函数，将在三角形内保持不变，所以如果你使用高阶插值，你只需要多次计算这个旋转角度。$\mathbf{F}$

一个更简单的公式是

$$\theta = {1 \over 2} \nabla \times u$$ 在哪里$u$是位移。的衍生物$u$将应变-位移矩阵（此处为 p8）的元素乘以$u$.

编辑说明：

$u$是一个 3D 字段，但由于问题是 2D，因此一个分量始终为零。

$\nabla \times$表示卷曲

$\theta$是一个向量，其大小是旋转角度。在 2D 中，它必须平行于平面法线，因此只有该分量是角度，其他两个为零。