我正在研究一个缓慢的、非牛顿的、薄膜流动的问题。这个问题可以用不可压缩的斯托克斯方程建模：

$\nabla\cdot 2\mu(\dot\varepsilon)\dot\varepsilon - \nabla p + \rho g = 0, \qquad \nabla\cdot u = 0$

其中是速度，是（非线性）粘度，是应变率张量，是压力，是流体密度，是重力加速度矢量。在我的领域中，当流体完全不沿着下边界滑动时，有一个很好的近似值，而当流体沿着下边界自由滑动时，有一个不同的近似值。Stokes 方程在整个领域的求解成本很高，因此一些人试图提出在无滑移和自由滑移两种情况下都适用的近似值。$u$$\mu$$\dot\varepsilon$$p$$\rho$$g$

我的想法是在方向上使用半离散化，但使用光谱方法。通过查看实验证据，我有一种强烈的预感，大多数垂直变化都可以用高达 4 次的勒让德多项式来捕获。速度场将近似为$z$

$u(x, y, z) = \sum_lp_l(z)u_l(x, y)$

导出域的 PDE 耦合系统。然后可以使用例如 Galerkin 有限元方法、有限差分方法等来求解的这个耦合系统。$u_l$$\{u_l\}$

我正在寻找使用这种方法的任何参考资料或案例研究。我在谷歌上搜索并找到了这篇关于在只有一个周期性方向的域中求解 Navier-Stokes 方程的论文。还有这篇论文更多的是从模型简化的角度来看。如果这种方法有流行语，我想知道它是什么。

最后，任何软件实现都会有所帮助。我可以自己使用 deal.II 从头开始​​编写。我对 FEniCS、Firedrake 或 LifeV 不太熟悉；他们有没有办法像这样创建弗兰肯斯坦有限元空间？