计算科学 - 数值求解积分方程时避免内核奇异性的最佳方法 - 吾爱随笔录

计算科学积分方程

2021-12-20 06:16:05

取一个 Fredholm 积分方程并通过 (说）用节点和权重进行高斯求积得到感觉上使用同一组正交节点得到一个线性系统，所以但是如果是奇异，我们手头上有一个大问题。

u (x) - λ \int_{- 1}^{1} K (x, y) u (y) d y = f (x)

$u(x) - \lambda \int_{-1}^{1} K(x,y)u(y) \, \mathrm{d} y = f(x)$

{x_{j}}

$\{x_j\}$

{w_{j}}

$\{w_j\}$

u (x) - λ \sum_{j} w_{j} K (x, x_{j}) u (x_{j}) = f (x)

$u(x) - \lambda \sum_{j} w_j K(x,x_j)u(x_j) = f(x)$

f

$f$

u (x_{k}) - λ \sum_{j} w_{j} K (x_{k}, x_{j}) u (x_{j}) = f (x_{k})

$u(x_k) - \lambda \sum_{j} w_j K(x_k,x_j)u(x_j) = f(x_k)$

K

$K$

处理这种情况的正常方法是什么？

上使用高斯正交节点，上使用Chebyshev 节点，但这感觉有点尴尬；有更好的方法吗？ $y$ $x$

1个回答

一般来说，使用了三种主要的方法系列（不包括局部校正的 Nyström，因为我不是这方面的专家）：

对待奇点。在这个 Q/A中，我用 EFIE 积分描述了电磁学界的一个典型例子，其中对于奇异积分，奇异部分是解析处理的，而其余部分是通过正则求积计算的。该 Q/A 包括指向处理积分方程方法的常见积分的论文的链接，并且有一些后续内容。
使用为捕获奇点而量身定制的特殊求积规则。J. Ma、V. Rokhlin 和 S. Wandzura的论文，“任意函数系统的广义高斯正交规则”，SIAM J. Num。分析，卷。33，没有。3, pp. 971–996, 1996是我经常使用的论文之一，它可以作为这个主题的一个很好的切入点。

通常，在重自适应集成（即第三类）中的某些情况下，使用混合求积可以提供一些不错的结果；但是，根据我的经验（并且可能找到参考资料），它无法提供稳定的高精度结果，甚至无法在计算速度方面与上述方法竞争。

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