注意：这更像是一个带有一些示例的长评论，没有关于 Rellich-Kondrakov 定理的应用证明，它不是完整的答案。

我报告了两个使用与 PDE 词相关的 Rellich-Kondrakov 定理的例子。

首先请注意，特别是 Rellich-Kondrakov 定理说嵌入是紧凑的。$W^{l,p}(\Omega) \longrightarrow L^p(\Omega)$

示例 1：亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程是具有这种形式的特征值问题： \

$$\left\{ \begin{aligned} - \Delta u= \lambda u \quad \text{in} \quad\Omega\\ u=0 \quad \text{in} \quad \partial\Omega \end{aligned} \right.$$

值是具有边界条件考虑到二维情况，这个问题与膜振动（谐波）有关，最小特征值是基音。$\lambda$$-\Delta$$\lambda_n=$$\lambda_1$

现在你可以得到弱公式：

$$\left\{ \begin{aligned} \int_{\Omega} \nabla u \nabla \varphi = \lambda \int_{\Omega} u \varphi \, dx \quad \forall \varphi \in W^{1,2}_0(\Omega) \\ u \in W^{1,2}_0(\Omega) \setminus \{0\} \end{aligned} \right.$$

你可以证明，在的一些假设下，集合 有一个正最小值。在这个证明中，使用 Rellich-Kondrakov 定理来获得收敛到中的函数的子序列。$\Omega$

$$\{ \lambda \in \mathbb{R} \, : \text{weak formulation problem has a solution } u \neq 0 \}$$ $L^2$

示例 2 泊松问题

用Sobolev 的理论有可能证明弱泊松问题是Hadamard 意义上的良定解，即存在唯一且稳定的解。对于这个证明，庞加莱不等式是必要的。

现在根据维基百科

Rellich-Kondrachov 定理可用于证明 Poincaré 不等式

我认为这可以看作是对 Rellich-Kondrakov 定理的间接使用。