在不详细说明您的特定问题的情况下，让我们以简化的方式编写您的问题：

$\nabla \cdot \left(\frac{\nabla \phi}{\rho}\right) = F$

请注意，预测步骤已经给出了要记住的重要一点是是在单元格的面上给出的，因此必须进行一些插值以使所有系数“到位”。假设系数足够平滑，对于和中的问题，Gauss-Seidel 迭代方案在方向之一（例如 x）上：$F(U,\delta t)$$U$$\Omega=[0,1]^2$$u=\phi/\rho$

$d^2u/dx^2 = f$

$u(0)=u(1)$ -周期性BC

是，使用二阶中心离散化，写为：

$u_i^{(k+1)} = 2u_i^{(k)} - \frac{1}{2}(h^2F - u_{i-1}^{(k+1)}-u_{i+1}^{(k)})$

其中是网格间距，$h$$u^{(k)}$是第 k 次迭代中网格函数的值。从这里开始，由您和手头的问题决定使用哪个求解器。

Saab (2003) 的书是一本很好的通用参考书。作者在他的网页上免费提供了这个版本。在多重网格上，Achi Brandtl (1977) 的经典论文在这个主题上相当不错。

附录

对于线性系统$A x = b$， 在哪里$A = (a_{ij})$; 一个定点迭代方案，称为 Gauss-Seidel，可以写成：

$x^{(k+1)}_i = x^{(k)}_i + \frac{1}{a_{ii}}\left(b-\sum_{i=1}^{j-1}a_{ij}x^{(k+1)}_i -\sum_{i=1}^{j}a_{ij}x^{(k)}_i \right)$

请注意，实际上，没有迭代$i$是必需的，因为生成的系统本质上是明确的（即：$k+1$RHS 上的值从前一次迭代中已知）。