感兴趣的方程是对流-扩散方程。典型的例子之一是 Navier-Stokes 方程。但是，我想让扩散系数常数变为零，$\epsilon \rightarrow 0$，而网格尺寸，$\Delta x, \Delta dy \rightarrow 0$, 和时间步长,$\Delta t \rightarrow 0$，趋近于零。然后，我可以得到无粘可压缩方程，可以作为气体动力学欧拉方程的一个例子。以下方程是二维笛卡尔坐标中的标量平流-扩散方程。

$$\frac{df}{dt} + U\frac{df}{dx} + V\frac{df}{dy} = \epsilon \left( \frac{d^2f}{dx^2} + \frac{d^2f}{dy^2} \right)$$

主要兴趣是在圆柱坐标系中找到气体动力学欧拉方程的精确公式$(r, \theta)$带有人工扩散部分。

编辑：我对二维气体动力学欧拉方程感兴趣的主要方程。笛卡尔向量形式可以表示为

$$\begin{pmatrix} \rho \\ \rho u \\ \rho v \\ E \end{pmatrix}_t + \begin{pmatrix} \rho u \\ \rho u^2 + p \\ \rho u v \\ u(E + p) \end{pmatrix}_x + \begin{pmatrix} \rho v\\ \rho u v \\ \rho v^2 + p \\ v(E + p) \end{pmatrix}_y = \textbf{0}$$

在这里，质量守恒、-x 和 -y 方向的动量和能量方程可以以矩阵形式看到。但是，我想在 Navier-Stokes 方程中添加具有小常数因子的人工粘度，以平滑数值模拟期间可能发生的振荡。出于这个原因，我需要知道 Navier-Stokes 方程的柱坐标中的向量拉普拉斯形式。然后我可以应用上述理论。