考虑时间相关的 Navier-Stokes 方程

$$u_t + (u \cdot \nabla) u - \Delta u + \nabla p = f$$ $$\operatorname{div}(u)=0$$

查看 deal.ii 教程，我注意到在与时间无关的情况下，关于预处理器的选择有广泛的讨论，而对于时间相关的情况，我只发现这个代码库非常适合我的测试用例

应用 IMEX 方案，我得到了

$$\frac{M}{\Delta_t} U_{n+1} + A U_{n+1} + B^t P_{n+1} = G(t_n,U^n,f)$$ $$B U_{n+1} = 0$$

因此，在每个时间步，我都需要解决鞍点问题

$$\begin{bmatrix} \ \frac{M}{\Delta_t} + A & B^t\\B & 0 \end{bmatrix}$$

当然，我需要应用一个前置条件，经过讨论，我选择了

$$P = \begin{bmatrix} \frac{M}{\Delta_t} + A & B^t \\ 0 & -S^{-1} \end{bmatrix}$$ 在哪里$S$是舒尔补$\frac{M}{\Delta_t}+ A$

现在，让我们进入热点：我需要了解什么是反转左上块和底部块的好方法$S$.

• 由于左上块$\frac{M}{\Delta_t} + A$是对称的和正定的，那么为了“反转”我只会使用共轭梯度。

• 为了$S$我会使用压力质量矩阵，通常称为$M_p$在 deal.ii 网站上。本质上，它是由$L^2$压力基函数的乘积。这也是对称和正定的，所以我可以再次使用 CG。