我希望你能帮我解决这个问题。我必须找到逆系统的解 x

$$x=A^{-1}b$$

这个逆问题基本上是 rank-1 更新的最小二乘问题。

$$x=[uv^{T}+H^{H}H]^{-1}H^{H}b$$

有两个目标，一个可以通过最小二乘问题来实现，另一个可以通过 rank-1 更新来实现。我需要在两者之间找到最佳权衡。

最小二乘解（没有rank-1更新）需要正则化，所以矩阵的最小奇异值$[H^{H}H]$将需要用零替换。

通常，我应该在 rank-1 更新前引入一个参数（真正的正标量）$uv^{T}$并手动调整它，直到解决方案导致两个目标之间的最佳折衷。不过，我在想：我可以对矩阵进行奇异值分解吗$[H^{H}H]$并用我的 rank-1 更新替换我的一个无用元素（正则化后将被零替换的元素）？* 这不会让我不必包含一个必须调整的参数吗？一旦我有了我的新矩阵 A，我认为可以通过应用选择性奇异值分解来轻松地对解决方案进行正则化......

• 我认为可以这样做的原因是只有一个非零奇异值$uv^{T}$同时，一些（最小的）奇异值$[H^{H}H]$将被拒绝，所以为什么不创建一个新矩阵 A 使得它的 svd 组件之一是（非零）$svd(uv^{T})$?

提前致谢