存在数值求解 ODE 系统的通用方法。PDE 有通用方法吗？如果是这样，它们是什么？如果不是，为什么不呢？详细说明...

任何 ODE 集都可以以标准形式写成 n 个变量中的n个一阶 ODE集。然后可以使用单一方法。所需的边界/初始条件数为n。并非绝对每个具有解决方案的 ODE 都可以通过单一方法解决，并且数学家将了解某些方法对某些问题的优势，但科学/工程类型的人可以期望使用该方法来解决合理问题（如果存在） . 示例实现包括MATLAB 中的bvp4c和 Python 中的scipy.integrate.solve_bvp。

我不知道有单一版本的 FEM/FVM 或任何其他可以像 ODE 方法一样可靠地应用的方法。但是 PDE 系统也可以简化为一阶标准形式和可能的其他标准形式。我知道的可能阻止通用方法的并发症包括：基于椭圆/双曲线分类的行为差异（绝对适用于二阶 PDE，但也可能适用于任何 PDE 系统）；所需边界条件的形式（例如，可能与椭圆率直接相关的全边界条件与柯西条件）；偶数/奇数导数的行为差异（？）这些事情中的任何一个都会阻止单一的通用方法吗？还有其他原因吗？

在 MATLAB 中，solvepde适用于二阶 PDE 系统，因此我认为这不包括任何具有奇数（空间）导数的 PDE。我不确定 C++/Python FEniCS 是否可以用其形式语言表示任何 PDE 系统。如果可以的话，我的理解仍然是，如果在基函数的选择上不满足某些条件，该方法将不会收敛。因此，从只想要一个解决方案而不了解大量理论的科学/工程程序员的角度来看，这些似乎是相当通用的方法，但并不完全通用（就像提到的 ODE 求解器的情况一样）。