计算科学 - 缺少关于条件数估计的基本知识 - 吾爱随笔录

在 Higham 的Accuracy and Stability of Numerical Algorithms，第 15 章，算法 15.3 和 15.4 中：主题表面上是条件数估计，但这些算法展示了如何计算 $\gamma$ 这样 $\gamma < \left\|A\right\|_{1}$ .

但是如果我有一个矩阵 $A$ ，我已经知道如何计算 $\left\|A \right\|_1$ ，只需计算

{‖ A ‖}_{1} = max_{j} \sum_{i} | a_{i j} |

$\left\| A \right\|_1 = \max_{j} \sum_{i} |a_{ij}|$ 这是一个快速的

O (n^{2})

$O(n^2)$ 失败。所以困难的部分是

{‖ A^{- 1} ‖}_{1}

$\left\|A^{-1}\right\|_1$ 的计算。

好的，所以也许我应该把它读作 $A \mapsto A^{-1}$ 。然后算法 15.3 告诉我计算 $y = A^{-1}x$ ，或者换句话说解决 $Ay = x$ 。这并不比求解线性系统便宜。是否假设 $A$ 已经分解为三角因子？

我错过了什么？