计算科学 - 如何计算Δu _Δu在双调和方程的边界上？ - 吾爱随笔录 - 问答

如何计算Δu _Δu在双调和方程的边界上？

计算科学 pde

2021-12-09 20:02:54

让和之间是否存在任何关系。 $u$ $u,\frac{\partial u} {\partial n}$ $\Delta u$

我在和的值，但我需要边界上 $u$ $\frac{\partial u} {\partial n}$ $\partial \Omega$ $\Delta u$

我认为这是不可能的，但是有没有人知道如何做到这一点？

事实上，我想通过将双调和方程转换为两个泊松问题来求解：。

Δ^{2} u = f

$\Delta^2u=f$

u = g_{1}

$u=g_1$

\frac{\partial u}{\partial n} = g_{2}

$\frac{\partial u} {\partial n}=g_2$

使用导致所以首先我必须对边界上使用初始猜测。但是这种方式的准确率很低。有时它取决于最初的猜测。这里是一个小常数。 $\Delta u=w$

Δ u = w,

$\Delta u=w,$

u = g_{1} o n \partial Ω

$u=g_1 ~~on~~\partial \Omega$

Δ w = f,

$\Delta w=f ,$

w = Δ u - c (\frac{\partial u}{\partial n} - g_{2}) o n \partial Ω

$w=\Delta u-c(\frac{\partial u} {\partial n}-g_2)~~on~~\partial \Omega$

Δ u

$\Delta u$

c

$c$

2个回答

如果您的问题是您是否可以仅从和 partial \Omega}而无需求解实际方程，那么答案是否定的。您要做的相当于计算拉普拉斯方程的狄利克雷到诺伊曼图，这也需要您计算拉普拉斯方程的解。仅在本地和是不可能计算 } 的。 $\Delta u|_{\partial \Omega}$ $u|_{\partial \Omega}$ $\partial_n u|_{\partial \Omega}$ $\Delta u|_{\partial \Omega}$ $u|_{\partial \Omega}$ $\partial_n u|_{\partial \Omega}$

是的，这是可以做到的，但正如您所观察到的，为两个泊松方程指定边界条件可能具有挑战性。

此示例来自 MATLAB PDE 工具箱

通过将板方程转换为两个标量 Poisson 方程组来求解板方程. 它使用 Robin 类型的 BC 作为近似强制执行的技巧 $u=0$ 在边界上。具体来说，应用了以下两个 Neumann (Robin) BC：

\frac{\partial u}{\partial n} = g_{2}

${{\partial u}\over{\partial n}} = g_2$

和

\frac{\partial w}{\partial n} = - k u

${{\partial w}\over{\partial n}} = -ku$

在哪里 $k$ 是一个很大的数字。如果你想 $g_1 \ne 0$ ，对我来说如何使用相同的技术来实现这一点并不是很明显。

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