如果你只考虑线性方程，你可以使用相当简单的方法。Lax-Wendroff 是二阶方法的一个很好的示例，但您甚至可以使用基于迎风的方法，它是一阶且扩散的。

双曲守恒定律的问题在于非线性。因此，让我们考虑 ，这意味着。如果是常数（即是线性的），则您具有线性传输，因此您的初始数据将以速度传输。然而，对于非线性，即使是平滑的初始数据也可能导致不连续性。Burger 方程就是一个经典的例子：或$u_t + f(u)_x=0$$f^\prime=c$$c$$f$$c$$f$$u_t+uu_x=0$$u_t+\frac12(u^2)_x=0$. 如果你看看这些特征，你就会看到会发生什么。假设我们有分段常数初始数据。如果它们在左侧的值大于右侧的值，则左侧的部分比其他部分更快地向右移动，最终会受到冲击。如果它是相反的方式，你有一个稀疏波，两个部分相互远离。但就高阶而言，冲击是更大的问题。在冲击或陡峭梯度附近，精度顺序没有意义，因为它涉及导数（泰勒级数）。我已经提到迎风方法是扩散的，但它可以处理冲击。高阶（$\ge2$) 方法会产生虚假振荡。这就是人们发明通量限制器等的原因。您尽可能使用高阶方法，并在必要时降到安全的第一阶。那里有很多理论。许多人想要拥有的一项属性是 TVD（总变异递减）。由于您已经提到了 wikipedia 站点，因此您可能已经看到了。并非所有这些通量限制器都是 TVD，但在那篇文章中提到的那些中，superbee 是最佳的，因为它允许尽可能多地使用高阶方法。Van Leer 和 Osher 是其他广泛使用的限制器。如果你想超越二阶，你应该看看http://en.wikipedia.org/wiki/MUSCL_scheme。

就您关于隐式方案的问题而言，从非线性稳定性理论来看，无论如何您通常都会得到类似 CFL 的条件。唯一无条件稳定（在强非线性意义上）是反向欧拉。Gottlieb、Ketcheson 和 Shu 有一本关于“强稳定性保持时间离散化”的优秀书籍。这是您想用于非线性问题的一种方法。这本书包含一个定理，说没有大于一的龙格-库塔方法是无条件的 SSP。另外，有效的 CFL 数可能以 2 为界，所以你真的不会得到任何东西。

您会看到，非线性双曲方程与您对简单 ODE 的了解有很大不同。如果您想了解更多信息，我推荐 Randall J. LeVeque 的《双曲问题的有限体积方法》一书。它涵盖了理论以及广泛的数值方法（包括通量限制器）。

正如审稿人已经建议的那样，将事情放在上下文中而不是笼统地说会很好。不过，我相信我可以对这些问题发表评论。即使隐式求解方法也不清楚（无矩阵、自动微分、滞后雅可比行列式或具有局部牛顿迭代的非线性 gs、Newton-MG、预处理？）我会给通量限制器一些见解。它们通常用于跟踪表现出突然变化的场，例如冲击或一般的界面。除了限制器类型的选择，还有两个主要步骤：计算r和计算f(r)。从后者开始，f 通常是非线性的 - 根据选择的限制器具有不同的复杂性。在雅可比行列式中考虑时，有些更简单，有些则不然。即使在某些情况下，应评估 max-min 组合（这也需要对 CPU 和 GPU 计算采取不同的措施）。对于 r，如果网格很简单——比如均匀且结构化，则大多数时候计算起来很简单（可能需要有限体积的幻影单元来扩展模板）。然而，对于非结构化网格 - 邻域很重要。如果网格数据排序良好，则可以更有效地处理计算，但仍然需要一些几何插值来计算 r（有关于这方面的论文，请参阅计算流体动力学导论：有限体积法第 5 章和第 11 章）。根据我的个人经验，我会专注于 van Leer 和 Sweby，并将研究集中在复杂性上。