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Neumann BC 的一维波动方程是否可解析求解？

计算科学 pde

2021-12-12 23:28:08

二阶波动方程的通解：

\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = c^{2} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}

$\frac{d^2u}{dt^2} = c^2\frac{d^2u}{dx^2}$

被称为 d'alembert 公式-> https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula

对于一端为 Neumann BC，另一端为狄利克雷的问题，是否存在解析特解？我无法找到解决方案。我只能找到纯狄利克雷 BC 的解决方案。

1个回答

答案是肯定的。有很多方法可以解析求解这个方程。

例如，您可以通过离散傅里叶变换解决此问题。(DFT)

对于两边的 Dirichlet BC：我们使用 { $sin\frac{n\pi x}{L}$ } 作为
Neumann BC 的特征函数：我们使用 { $cos\frac{n\pi x}{L}$ } 作为特征函数
当我们有一侧狄利克雷和另一侧诺依曼时，我们可以使用 { $sin\frac{(n+\frac{1}{2})\pi x}{L}$ } 要么 { $cos\frac{(n+\frac{1}{2})\pi x}{L}$ } 取决于每个 BC 的类型的一侧，作为特征函数。

对于你问的问题，可以用第三类特征函数来解决。

您可以从 Sturm-Liouville 理论推导出这些特征函数。
请让我知道这是否是您正在查看的内容。

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