计算科学 - 如何测量有限差分法的误差 - 吾爱随笔录

假设我正在用一个已知的有限差分法求解一个 pde。对于一些近似矩阵，我可以将其表示为。我定义了离散范数，我将在其中分析收敛性为。我有错误的估计对于局部错误，如果空间中的一阶和为 $A_hu_h=f$ $A_h$

| | e | |^{2} = h \sum e_{i}^{2}

$||e||^2=h\sum e_i^2$

| | e | | \leq C | | τ | |

$||e||\leq C ||\tau||$

τ

$\tau$

C

$C$

A^{- 1}

$A^{-1}$ . 然后，我想看看哪个错误让我的程序确认了这个理论。我在网格上选择一个点，观察作为双重网格会发生什么。假设我看到误差减少了 2，所以我怀疑那是一个线性收敛。因此，我只能看到某一点的收敛速度。我怎样才能保证收敛在网格上“无处不在”？为了确认理论结果，我不应该测量每个点的误差并看到我有一个线性收敛，以便声称误差在上面定义的离散范数中线性变为零吗？因为我可以用类似的规范说明结果，例如离散或离散

L^{\infty}

$L^{\infty}$

L^{1}

$L^1$ ，但是，我用计算机测量的是相同的：数值解与该点处的函数值之间的差异。

让我感到困惑的是，在我实施该方法之前，我可以用各种规范陈述误差估计，但是，我如何将这些理论近似值与我实际可以测量的误差联系起来，因为这只是一个值网格上的点并且独立于我进行理论分析的方式？

编辑：我应该重新表述这个问题：有许多论文，其中收敛性是针对网格上的特定点进行测量的，并且结果表明以确认在离散或为误差向量。这是否足以仅在某一点进行测量以获得确认？为什么仅针对某一点的错误提供结果？ $L^{\infty}$ $L^{2}$