计算科学 - 使用 Lax-Friedrichs 方案求解输运方程时，应在哪些时空点评估已知系数函数？ - 吾爱随笔录

对于标量，我正在考虑传输方程当为常数时，Lax-Friedrichs 方案是由其中用于等间距的时空网格点。 $u = u(x, t)$

\begin{aligned} u_{t} + a u_{x} & = 0, x \in [0, L], t \in [0, T] \\ u (0, t) & = u_{in}, \\ u (x, 0) & = f (x) . \end{aligned}

$\begin{align} u_t + au_x &= 0, \qquad{x\in[0, L], \ t\in[0, T]} \\ u(0, t) &= u_{\text{in}}, \\ u(x, 0) &= f(x). \end{align}$

a

$a$

u_{j}^{n + 1} = \frac{u_{j + 1}^{n} + u_{j - 1}^{n}}{2} - \frac{a (u_{j + 1}^{n} - u_{j - 1}^{n})}{2},

$\begin{equation}\label{PDE} u_j^{n + 1} = \frac{u_{j + 1}^n + u_{j - 1}^{n}}{2} - \frac{a(u_{j + 1}^n - u_{j - 1}^{n})}{2}, \end{equation}$

u_{j}^{n} = u (x_{j}, t^{n})

$u_j^n = u(x_j, t^n)$

在的情况下，应该评估的鉴于该方案在时间上是向前的，我可以合理地说服自己我们将时间上的 a 评估a 但是我们应该使用哪个空间点？Lax-Friedrichs 方案的隐含空间特性使我无法使用与时间相同的逻辑。 $a = a(x, t)$ $x_j,\ t^n$ $a$ $a$

a (x, t^{n + 1}),

$a(x, t^{n + 1}),$