计算科学 - 速度的一维平流是否有一般解析解，你吨= -你你Xut=−uux? - 吾爱随笔录

速度的一维平流是否有一般解析解，你吨= -你你Xut=−uux?

计算科学 pde 平流

2021-11-29 03:47:44

这是为了帮助我将连续和离散联系起来，预测我的方案应该做什么，并转向使用制造解决方案的方法。

对于等速在一维域上平流一个量 $c$ $u(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} = - c \frac{\partial u}{\partial x} u_{t} = - c u_{x}

$\frac{\partial u}{\partial t} = - c\frac{\partial u}{\partial x} \\ u_t=-cu_x$ of

u (x, t) = f (x + c t) + g (x - c t)

$\require{enclose} u(x,t) = \enclose{horizontalstrike}{f(x+ct) +} g(x-ct)$ ，其中

g

$g$ 是以速度

c

$c$ 移动的轮廓。[编辑]

但是当速度平流的量是速度本身时，情况会更加复杂：

u_{t} = - u u_{x}

$u_t=-uu_x$

我制定了一个解决方案 $u(x,t)=x/t$ ：一个简单的线性轮廓，从 $t_0 = 1$ 开始。它推广到 $u(x,t) = (x+a)/(t+b)$ ，其中 $a$ 改变 x 截距， $b$ 改变初始轮廓的斜率。

正斜率是发散的（正 1D $div$ ），随着时间的推移，线会随着数量的移动而变平。然而，负斜率（通过 $b<1$ 实现）是可压缩的（负 1D $div$ ），并导致奇点为 $t+b \to 0$ ，并且量向 x 截距加速。

但是有没有通用的解决方案？虽然对于完整的纳维斯托克斯方程显然没有已知的解决方案，但在我看来应该有一个用于速度平流的解决方案。

例如，我认为 $u(x, t_0) = cos x$ 会在正斜率上发散（接近零），并在负斜率上压缩（成为阶跃函数） - 但我无法找到解决方案（也许使用泰勒系列？）。

是否存在一般解析解？ $u_t=-uu_x$

1个回答

您对线性案例的解决方案不正确。对于方程，解为对于 Burger 方程，只要解是平滑的，它可以写为这是隐式方程，在一些简单的情况下，您也许能够找到解析解. 如果存在不连续性，那么平滑部分的解仍然如上所示，但您必须在不连续的地方用跳跃条件修补它们。同样，这可以在一些简单的情况下分析完成，比如如果您的初始条件不是太非线性。你必须找到冲击将在哪里形成。

u_{t} + c u_{x} = 0

$u_t + c u_x = 0$

u (x, t) = u (x - c t, 0) = u_{0} (x - c t)

$u(x,t) = u(x-ct,0) = u_0(x-ct)$

u (x, t) = u (x - u (x, t) t, 0) = u_{0} (x - u (x, t) t)

$u(x,t) = u(x - u(x,t)t,0) = u_0(x-u(x,t)t)$

向后追踪特征到初始点。这些是直线，所以求解可以是如果是简单函数，则分析完成。那么 $(x,t)$ $(x_0,0)$

d x / d t = u (x, t), x = x_{0} + u (x, t) t = x_{0} + u_{0} (x_{0}) t

$dx/dt = u(x,t), \qquad x = x_0 + u(x,t) t = x_0 + u_0(x_0) t$

x_{0} = x_{0} (x, t)

$x_0 = x_0(x,t)$

u_{0}

$u_0$

u (x, t) = u_{0} (x_{0} (x, t))

$u(x,t) = u_0(x_0(x,t))$

如果存在冲击，则由 Lax-Oleinik 公式给出解决方案，参见 [1]。但这并没有给出明确的解析解，因为该公式涉及一些最小化问题。

这取决于您所说的分析解决方案是什么意思。Lax-Oleinik 公式是一般解析解，但它可能无法为您提供解的明确公式。

解是稀疏波的特殊解。如果初始条件且，则 Burgers 方程的解为 $u(x,t) = x/t$

u (x, 0) = {\begin{cases} u_{L} & x < 0 \\ u_{R} & x > 0 \end{cases}

$u(x,0) = \begin{cases} u_L & x < 0 \\ u_R & x > 0 \end{cases}$

u_{L} < u_{R}

$u_L < u_R$

u (x, t) = {\begin{cases} u_{L} & x < u_{L} t \\ x / t & u_{L} t \leq x \leq u_{R} t \\ u_{R} & x > u_{R} t \end{cases}

$u(x,t) = \begin{cases} u_L & x < u_L t \\ x/t & u_L t \le x \le u_R t\\ u_R & x > u_R t \end{cases}$

[1] 埃文斯，偏微分方程，第一章。3，Thm 1，第 145 页

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