计算科学 - 数值求解极泊松方程 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 泊松

2021-12-20 06:07:28

我想求解二维极坐标系统的泊松方程：

Δ_{r} f (r) = u (r)

$\Delta_r f(r) = u(r)$ 使用拉普拉斯算子：

Δ_{r} f (r) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} [r \frac{\partial}{\partial r} f (r)]

$\Delta_r f(r) = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left[r \frac{\partial}{\partial r} f(r) \right]$

我有 $u(r)$ 作为非均匀（准对数）网格的向量给出。任何想法如何解决这个问题？

1个回答

您可以使用有限差分（来自 GD Smith 第 213 页）

\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} u + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} u = f

$\frac{\partial^2 }{\partial r^2}u+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u=f$

定义网格中的点 $r-\theta$ 作为 $r=i \delta r$ 所以现在 $(i)$ 方程近似为

\frac{u_{i + 1} - 2 u_{i} + u_{1 - i}}{(r (i + 1) - r (i - 1))^{2}} + \frac{1}{r (i)} \frac{u_{i + 1} - u_{i - 1}}{2 (r (i + 1) - r (i))} = f (i)

$\frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{1-i}}{(r(i+1)-r(i-1))^2}+\frac{1}{r(i)} \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2(r(i+1)-r(i))} =f(i)$

在这一点上，您应该能够看到如何将其构建为矩阵公式并包括您的 BC。

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