计算科学 - 非线性通量界面项如何为双曲守恒定律的不连续 Galerkin 方法组装？ - 吾爱随笔录

例如，对于一维 Burgers 方程

u u_{x} = 0

$u u_x = 0 \\$

等效地，

\frac{d F (u)}{d x} = 0 F (u) = \frac{u^{2}}{2}

$\frac{dF(u)}{dx} = 0\\ F(u)= \frac{u^2}{2}$

如果我想获得 $A_{ij},i\ne j$ 对于两个自由度（ $U_i$ 和 $U_j$ ) 的两个元素 ( $E_0$ 和 $E_1$ ) 共享一个内部接口 $\Gamma_0$ .

我需要替换 $u =\phi_i$ 和 $v=\phi_j$ nonlinear-linear形成 _

\begin{aligned} a (u; v) & = \int_{Ω} \nabla F (u) \cdot \nabla v d x - \int_{Γ_{0}} [F (u) v] d S \\ = \int_{Ω} \nabla F (u) \cdot \nabla v d x - \int_{Γ_{0}} \tilde{F} (u^{+}, u^{-}) [v] d S \end{aligned}

$\begin{aligned} a(u;v) &= \int_{\Omega}{\nabla F(u)\cdot \nabla v dx} - \int_{\Gamma_0}{[F(u) v]dS} \\&=\int_{\Omega}{\nabla F(u)\cdot \nabla v dx} - \int_{\Gamma_0}{\tilde F(u^+,u^-) [v]dS} \end{aligned}$

我明白什么 $F(u)$ 要么 $\tilde F(u^+,u^-)$ 在流体力学和守恒定律的意义上。但我真的很困惑什么 $F(\phi_i)$ 要么 $\tilde F(\phi_i^+,\phi_j^-)$ 是在物理学的意义上以及它是如何集成的。他们是如此的不自然。

我可以阅读程序代码，但它们都使用了对元素的某些迭代，而不是对基函数的迭代。它们确实是正确的，但我不确定它们是否正确 $A_{ij},i\ne j$ .