我想验证和比较 2D / 3D 中各向异性扩散方程的不同离散化。

为了测试时间步长和空间离散，我研究了使用热核作为扩散方程的解析解。一维热核（wiki-link）如下所示：

$$u(x,t) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{-x^2/4t}\ $$ 并求解以下维数扩散方程$d$分析： $$\frac{\partial u}{\partial t} = -\Delta u$$

这个想法是，对于分析解决方案，我可以在空间和时间上验证我的收敛性。就我而言，重要的是扩散是各向异性的，并且可能与底层网格不对齐。

我的各向异性扩散方程如下：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla (D \nabla u)$$

为了将分析解决方案扩展到我的情况，其中扩散不是标量和统一，而是完整（对称正定）张量 D，我查看了多元高斯分布（wiki-link）。

我的问题如下：

1. 文献中是否有用于各向异性（但均匀）扩散的热核，我可以用它来验证我的数值？

以此类推，我会想出类似的东西：

$$u(\vec{x},\vec{\mu},t) = \frac{1}{(4\pi~ |\mathbf{D}| t)^{d/2}} \exp \large(\frac{-(\vec{x}-\vec{\mu})^{T} \mathbf{D}^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})}{4~|\mathbf{D}|~t}\large).$$

2. 上述方程是各向异性扩散方程的适当解析解吗？

我不确定指数是否$d/2$是正确的$|D|$. 我知道这个问题可能涉及物理和数字，但我认为这可能对其他试图验证他们的代码的人有用。

任何提示或帮助表示赞赏！