计算科学 - 映射域的切比雪夫谱微分矩阵 - 吾爱随笔录 - 问答

映射域的切比雪夫谱微分矩阵

计算科学谱法切比雪夫

2021-12-21 09:27:00

这是对这个问题的跟进。

我使用映射从切比雪夫空间映射到物理空间。 $x = ((1-w)\xi^3 - x_p\xi^2 + w\xi + x_p + 1 )*(L/2)$

在切比雪夫空间中，我很容易定义谱微分矩阵如下：

(D_{N})_{00} = \frac{2 N^{2} + 1}{6}

$(D_N)_{00} = \frac{2N^2 +1}{6}$

(D_{N})_{N N} = - \frac{2 N^{2} + 1}{6}

$(D_N)_{NN} = -\frac{2N^2 +1}{6}$

(D_{N})_{j j} = - \frac{ξ_{j}}{2 (1 - ξ_{j}^{2})}, \forall 1 \leq j \leq N - 1

$(D_N)_{jj} = -\frac{\xi_j}{2(1-\xi_j^2)}, \ \forall \ 1 \leq j \leq N-1$

(D_{N})_{i j} = \frac{c_{i}}{c_{j}} \frac{(- 1)^{i + j}}{ξ_{i} - ξ_{j}}, \forall i \neq j

$(D_N)_{ij} = \frac{c_i}{c_j} \frac{(-1)^{i+j}}{\xi_i - \xi_j}, \ \forall \ i \neq j$

在哪里

$c_i= \begin{cases} 2,& \text{if } i = 0 \text{ or } N\\ 1, & \text{otherwise} \end{cases}$

$c_j= \begin{cases} 2,& \text{if } j = 0 \text{ or } N\\ 1, & \text{otherwise} \end{cases}$

如何找到上述映射的类似微分矩阵
？
这种映射会影响搭配方法的稳定性和收敛性吗？

1个回答

假设您在物理域的问题中。而不是在旧域上求解原始 ode，而是在新域上求解转换后的 ode。 $u_x$ $x=f(\xi)$

以下示例取自 Boyd 的书中。成为原始颂歌：你现在求解：现在您可以对使用定义的导数运算符。

a_{2} (x) u_{x x} + a_{1} (x) u_{x} + a_{0} (x) u = g (x)

$a_2(x)u_{xx}+a_1(x)u_{x}+a_0(x)u=g(x)$

a_{2} (f (ξ)) \frac{f^{'} (ξ) u_{ξ ξ} - f^{''} (ξ) u_{ξ}}{f^{'} (ξ)^{3}} + a_{1} (f (ξ)) \frac{u_{ξ}}{f^{'} (ξ)} + a_{0} (f (ξ)) u = g (f (ξ))

$a_2(f(\xi))\frac{f^\prime(\xi)u_{\xi\xi}-f^{\prime\prime}(\xi)u_\xi}{f^\prime(\xi)^3}+a_1(f(\xi))\frac{u_\xi}{f^\prime(\xi)}+a_0(f(\xi))u=g(f(\xi))$

ξ

$\xi$

这本质上是导数中的变量转换：这当然可以扩展为多维情况，虽然它变得有点复杂。

\frac{d u}{d x} = \frac{d u}{d ξ} \frac{d ξ}{d x} = \frac{d u}{d ξ} \frac{1}{\frac{d x}{d ξ}} = \frac{d u}{d ξ} \frac{1}{f^{'} (ξ)}

$\frac{du}{dx}=\frac{du}{d\xi}\frac{d\xi}{dx}=\frac{du}{d\xi}\frac{1}{\frac{dx}{d\xi}}=\frac{du}{d\xi}\frac{1}{f^\prime(\xi)}$

请注意，您还需要转换所有边界条件。

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