计算科学 - 非线性边值问题的离散化 - 吾爱随笔录

计算科学有限元离散化弱解

2021-12-26 15:05:07

我正在尝试使用有限元方法来离散以下问题

\begin{aligned} min_{u \in H_{0}^{1} (Ω)} \int ‖ Δ u (x) - 0.5 * [u (x) + ⟨ e, x ⟩ + 1]^{3} ‖_{2}^{2} d Ω, \end{aligned}

$\begin{align} \min_{u \in H^1_0(\Omega)} \int \| \Delta u(x) - 0.5*[u(x) + \langle e, x \rangle + 1]^3 \|^2_2 \ d\Omega, \end{align}$ 其中 e 是向量的向量。解

u

$u$ 是标量值。

我不清楚，应该如何处理平方范数。里面的整个术语是否应该乘以测试函数？

1个回答

首先，你提出的问题看起来像有限元问题的 Ritz 形式，但事实并非如此，这让我有点奇怪。此外，我认为这是一个家庭作业问题，您的前几个步骤是错误的，因此您被卡住了，所以您要求我们解决它。给你怀疑的好处，这是我的答案。

解决问题等价于找到使得这应该是直截了当的，因为如果这样的存在，那么显然这给了你最小值。从这一点开始，您可以像往常一样离散 PDE，但 PDE 是非线性的，因为

\begin{aligned} min_{u \in H_{0}^{1} (Ω)} \int ‖ Δ u (x) - 0.5 * [u (x) + ⟨ e, x ⟩ + 1]^{3} ‖_{2}^{2} d Ω, \end{aligned}

$\begin{align} \min_{u \in H^1_0(\Omega)} \int \| \Delta u(x) - 0.5*[u(x) + \langle e, x \rangle + 1]^3 \|^2_2 \ d\Omega, \end{align}$

u \in H_{0}^{1} (Ω)

$u \in H^1_0(\Omega)$

\begin{aligned} Δ u (x) - 0.5 * [u (x) + ⟨ e, x ⟩ + 1]^{3} & = 0 & in Ω, \\ u (x) & = 0 & on \partial Ω . \end{aligned}

$\begin{align} \Delta u(x) - 0.5*[u(x) + \langle e, x \rangle + 1]^3&=0 & \text{ in } \Omega, \\ u(x) &= 0 & \text{ on } \partial\Omega. \end{align}$

u

$u$

\int_{Ω} ‖ Δ u (x) - 0.5 * [u (x) + ⟨ e, x ⟩ + 1]^{3} ‖_{2}^{2} d Ω = 0

$\int_{\Omega} \| \Delta u(x) - 0.5*[u(x) + \langle e, x \rangle + 1]^3 \|^2_2 \ d\Omega = 0$

0.5 * [u (x) + ⟨ e, x ⟩ + 1]^{3}

$0.5*[u(x) + \langle e, x \rangle + 1]^3$ . 你应该以某种方式线性化它。Picard 迭代会很容易，但我怀疑它们不会收敛，您需要进行分析。牛顿法会收敛以获得良好的初始猜测，但您需要自己推导该方法。

如果您还有其他问题，请执行这些操作并在上面更新您的问题。

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