计算科学 - 边界上施加加速度的斯托克斯问题（投影方案） - 吾爱随笔录

我正在尝试使用有限元并使用投影方案来解决 FSI 问题（我将 Guermond 的评论作为参考：

盖尔蒙德，JL；米涅夫，P。沉杰，不可压缩流的投影方法概述，计算机。方法应用程序。机甲。英。195, No. 44-47, 6011-6045 (2006)。ZBL1122.76072 .)，对于流动方程，出于计算效率的原因。

据我了解，这些方法基于 Helmoltz 分解：

[L^{2} (Ω)]^{d} = H \oplus \nabla H^{1} (Ω),

$[L^2(\Omega)]^d = H \oplus \nabla H^1 (\Omega),$ 在哪里

H = {v \in [L^{2} (Ω)]^{d}; \nabla \cdot v = 0; v \cdot n |_{Γ} = 0} .

$H=\{ v\in [L^2(\Omega)]^d; \nabla\cdot v = 0; v\cdot n|_{\Gamma} = 0\}.$ 所以求解 Navier-Stokes 方程

\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u = - ν Δ u + \nabla p, \nabla \cdot u = 0,

$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nu \Delta\mathbf{u} + \nabla p,\\ \nabla\cdot \mathbf{u} = 0,$ 第一个仅解决速度问题，其中压力以某种方式近似，然后解决压力问题以强制执行不可压缩约束

\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla p = 0, \frac{\partial p}{\partial n} |_{Γ} = 0,

$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} -\nabla p = 0, \qquad \frac{\partial p}{\partial n}\bigg|_{\Gamma} = 0,$ 其中边界条件应该来自 Helmoltz 分解。我的疑问是，我通常会看到标准 Navier-Stokes 问题的这个框架，其中边界是固定的，速度是通过 Dirichlet 条件强加的。如果是这种情况，取 NS 方程与边界法线的乘积

n |_{Γ}

$n|_{\Gamma}$ ，可以看出边界处压力所遵循的条件是

\frac{\partial p}{\partial n} |_{Γ} = ν Δ u \cdot n |_{Γ} .

$\frac{\partial p}{\partial n}\bigg|_{\Gamma} = \nu \Delta \mathbf{u} \cdot n|_{\Gamma}.$

现在，如果我想将其应用于 FSI 问题，其中一个边界正在移动，因此速度被分配但随时间变化，即施加了加速度。我的问题是，压力投射的经典框架是否仍然有效？以及如何严格推导出要解决的两个子问题（速度和压力），更重要的是，在边界和 FSI 界面处施加压力和速度的边界条件是什么？对我来说，如果狄利克雷边界上的速度与时间相关，那么基本形式的赫尔莫兹分解看起来就不起作用。直观地说，如果我再次将 NS 方程与边界法线相乘 $n|_{\Gamma}$ ，这 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ 如果边界正在加速，则不会取消，因此压力现在满足

\frac{\partial p}{\partial n} |_{Γ} = (- \frac{\partial u}{\partial t} + ν Δ u) \cdot n |_{Γ} .

$\frac{\partial p}{\partial n}\bigg|_{\Gamma} = \left(-\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nu\Delta\mathbf{u} \right)\cdot n|_{\Gamma}.$ 但是我是否只是将加速度作为边界条件添加到压力问题中？我如何严格推导它？另外，在这方面我错过了一个很好的参考吗？