鉴于功能$J_A(y,u) = \frac{1}{2}||y-y_d||^2_{L^2(w,\omega)} + \frac{\lambda}{2}||u||^2_{L^2(w^{-1}, \omega)}$其中 w 是属于 Muckenhoupt 类的函数。

给定优化问题：min$J_A$受制于

-$div(A\triangledown{y}) = u$在$\omega$. 假设矩阵$A$几乎每一个都满足这些不等式$x\in \omega$,

$w(x)|\zeta|^2 \leq C(\zeta^{T}\cdot A)$, $\ \zeta^{T}\cdot A \leq D(w(x)|\zeta|^2)$对于一些常数$C$和$D$

$y = 0$在$\partial \omega$,

和控制约束$u\in U_A$在哪里$U_A$是一个非空闭凸集$L^{2}(w^{-1}, \omega)$.

我有兴趣找到这个优化问题的对偶问题 + 拉格朗日条件。我也非常努力地证明了以下不等式，但仍然没有成功：$(DJ_A(\bar{u}), (u-\bar{u}))\geq 0$在哪里$\bar{u} =$上述优化问题的最优控制解。

希望有人可以帮助我解决上述任何一个问题。这很有趣，但也很有挑战性，所以我非常感谢你能提供的任何帮助。