我正在解决两个变量的 PDE 非线性二阶系统。这些方程太复杂了，无法在这里写出来，但一个基本特征是有一个传播波，然后在边界上反弹。

我遇到的问题是，当波浪到达这一点时，数字会在边界处分解。我已经尝试通过“反复试验”来改变我在这一点上使用不同的有限差分模板计算导数的方式，但没有运气（伪光谱方法不起作用btw），我不知道如何系统地尝试提高稳定性，我没有直觉什么可以工作，什么不能工作。

当遇到此类问题时，有没有人有任何提示可以尝试什么？我怎样才能系统地向前推进，以使我的数值方案在这个边界点稳定？基本上，如果有人只是有一系列想法可以盲目尝试，那也很棒。

编辑：我应该补充一点，“边界”也可以解释为极坐标中的原点，所以靠近边界，我们在原点有一个柱面波散射。

Edit2：根据要求，我添加了我要解决的方程的（简化版本）

$\dot{c}=K'$

$\dot{K}=\frac{K^2f}{5r^2}+25(1-f)+\frac{5r}{4}(fc/r)'$

$\dot{f}=-\frac{f^2K'}{5r}$

“极坐标原点”在 r=0，传播的波在和中。我已经删除了许多项来获得上述方程，只保留了我认为重要的那些。似乎不稳定是由于项（如果我删除它，我会得到稳定的演变）。不稳定性表现为和在靠近原点的点处以相反的符号发散。在附近，我们期望和和。$c$$K$$1-f$$\dot{K}$$f$$K$$r\sim 0$$K\sim r^4$$c\sim r^3$$f-1\sim r^2$

我提出的边界条件是在某个处，这会引发应该在处反弹的波。初始条件为，。$K=e^{-t^2}$$r=r_0$$r=0$$f=1$$c=K=0$

关于我的数字的更多细节：我在不同的网格上有 K 和 c （例如中的一个点位于中的两个点之间）。这消除了我遇到的其他不稳定问题。我使用二阶/三阶有限差分方法来计算导数和在网格之间进行插值。在原点有一个点，没有，并且在同一个网格上。在原点，我使用这样一个事实，即在计算导数时函数应该是均匀的（通过将径向坐标扩展到负值），但这并没有太大变化。$c$$K$$c$$K$$f$$K$