计算科学 - 如何在有限元法中计算每个节点的梯度？ - 吾爱随笔录

如何在有限元法中计算每个节点的梯度？

计算科学有限元

2021-12-16 06:30:51

我在有限元法中计算每个节点的梯度时遇到问题。我可以得到每个节点的值。但是我怎样才能得到渐变呢？

我知道其中是测试函数。所以。但是如果它是一维问题并且我使用线性基函数。那么我认为在点的总结为 0，因为的导数两边互为负。我很迷茫。 $u = \sum u_i \phi_i$ $\phi_i$ $\frac{\partial u}{\partial x} = \sum u_i \frac{\partial \phi_i}{\partial x}$ $\frac{\partial \phi_i}{\partial x}$ $u_i$ $\phi_i$

1个回答

假设我们有一个分段线性的一维基。从技术上讲，梯度在有限元节点处没有定义点值，因为正如您所注意到的，导数在节点处是不连续的。

然而，有几种技术可以近似梯度。一个例子是基于将弱导数投影到分段线性基础上。让我试着用下面的例子来解释它：

以上是问题的有限元解决方案 ,。因为解是分段线性的，所以导数是分段常数： $-u''=1$ $u(0)=u(1)=0$

该导数在节点上没有唯一值，因为它是不连续的。但是，我们可以投影到分段线性基础上，得到： $L^2$

令表示分段线性解。在实践中，上述投影意味着我们求解满足对于每个。这简化为一个矩阵系统其中是质量矩阵，和是原始解向量。 $u_h \in V_h$ $L^2$ $w_h \in V_h$

\int_{0}^{1} w_{h} v_{h} d x = \int_{0}^{1} \frac{\partial u_{h}}{\partial x} v_{h} d x

$\int_0^1 w_h v_h \,\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{\partial u_h}{\partial x} v_h \,\mathrm{d}x$

v_{h} \in V_{h}

$v_h \in V_h$

M w = C u

$M \boldsymbol{w} = C \boldsymbol{u}$

M

$M$

C_{i j} = \int_{0}^{1} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial x} ϕ_{i} d x

$C_{ij} = \int_0^1 \frac{\partial \phi_j}{\partial x} \phi_i \,\mathrm{d}x$

u

$\boldsymbol{u}$

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