计算科学 - 奇阶 PDE 有限差分离散化的求解器 - 吾爱随笔录

奇阶 PDE 有限差分离散化的求解器

计算科学 pde 线性求解器

2021-12-11 09:46:08

我习惯于求解偶数阶的椭圆 PDE。我想知道对于奇数阶 PDE 会做什么。值得注意的是，这些结果的离散化导致了不对称矩阵。我尝试解决以下简单问题：

\frac{d^{3} u}{d x^{3}} (x) = 0, x \in Ω u (x) = f (x), x \in Γ_{D}, \partial_{n}^{l} u (x) = 0, x \in Γ_{N}

$\frac{d^3u}{dx^3}(x) = 0,\, x\in \Omega \quad u(x) = f(x), \, x \in \Gamma_D, \, \partial^{l}_nu(x) = 0, x\in\Gamma_N$

我通常希望得到一些二次样条作为上述解决方案。但是我得到了一个非常振荡的解决方案，我认为这是由于数值不稳定性造成的。我使用了离散化：

\frac{d^{3} u}{d x^{3}} = [\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 & 0 & - 1 & \frac{1}{2} \end{matrix}] * u + O (h^{2})

$\frac{d^3u}{dx^3} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1 & 0 & -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} *u+O(h^2)$

由于系统矩阵 $L$ 是不对称的，我使用CGNR求解器来求解 $L^TLx = L^Tb$ 相反，但事情似乎并没有解决。我从来没有用数字处理过奇数阶偏微分方程。是否有一些参考资料在讨论这个问题？我是否应该使用特定的离散化，如迎风方案？我认为这没有任何意义作为前面的因素 $\frac{d^3u}{dx^3}$ 考虑到右手边为零，似乎无关紧要。是否可以通过解决以下问题来稳定上述问题：

| \frac{d^{3} u}{d x^{3}} | = 0,

$\left |\frac{d^3u}{dx^3}\right | = 0,$

反而？显然我不能把上面写成 $y=Lx$ 不再是，并且必须有可能将其扩展到 $\partial_t u = \left|\frac{d^3u}{dx^3}\right|$ ，例如应用显式欧拉并将时间发送到无穷大。在我尝试一些愚蠢的想法之前，我只想确定是否有已知的方法来处理奇数阶偏微分方程。

2个回答

矩阵为 $d/dx$ 对于合适的离散化方案是斜对称的，对于它的奇次幂也是如此。

此外，运营商 $i d/dx$ 是厄米特的，同样，通过使用斜对称离散化，它的所有幂也是厄米特的。

如果你有一个只包含奇数导数的偏微分方程 $x$ ，可以考虑解函数 $v(x)=i u(x)$ , 并将虚数单位带到算子一侧，从而得到一个厄米特问题，该问题可以解决，例如再次通过共轭梯度。

现在就是这样，因为我在手机上打字很累。只需发表评论并询问，一旦我回到我的笔记本电脑，我会写更多。

正如我在对 davidhigh 的回答的评论中提到的，在我的问题中使用离散化会产生一个斜对称矩阵，当修改它以添加 Dirichlet 条件时，它会变得奇异。为了更好地理解问题，我查看了以下离散化：

\frac{d u}{d x} = 0

$\frac{du}{dx} = 0$

而那些需要逆风方案。将相同的想法应用于 $\frac{d^3u}{dx^3} = 0$ 问题我得出的方案： $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -1\end{bmatrix}$ . 使用所述离散化和添加 Dirichlet 约束不再导致单一系统。然而，显式方案（例如，Richardson、Jacobi 等）似乎不会收敛到由此产生的不对称问题：

A x = b

$Ax = b$

相反，我决定通过以下方式对称化问题：

A A^{T} y = b, x = A^{T} y .

$AA^Ty = b, \, x = A^Ty.$

如果将 CG 应用于上述形式并进行一些修改，则可以得出 CGNE 算法。使用 CGNE 会导致收敛迭代。

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