计算科学 - 我需要关于变分公式的帮助 - 吾爱随笔录 - 问答

我需要关于变分公式的帮助

计算科学 pde

2021-12-26 10:32:40

对于这个问题

{\begin{cases} \frac{d^{2} u}{d x^{2}} = L o g (1 + x + y), i n Ω = (0, 1)^{2} \\ u = 0, o n Γ_{1} : x = 0 \\ u = 0, o n Γ_{3} : x = 1 \\ \frac{d u}{d η} = 0, o n Γ_{2} : y = 0 \\ \frac{d u}{d η} = 0, o n Γ_{4} : y = 1 \end{cases}

$\begin{cases} &\frac{d^2 u}{dx^2}=Log(1+x+y),in \quad\Omega=(0,1)^2\\ &u=0,\qquad on \quad\Gamma_{1}: x=0\\ &u=0,\qquad on \quad\Gamma_{3}: x=1\\ &\frac{du}{d\eta}=0,\qquad on \quad\Gamma_{2}: y=0\\ &\frac{du}{d\eta}=0,\qquad on \quad\Gamma_{4}: y=1\\ \end{cases}$

在哪里 $\eta$ 是单位法线向量。

我试图找到变分公式

\int_{Ω} \frac{d u}{d x} \cdot \frac{d v}{d x} dxdy = - \int_{Ω} L o g (1 + x + y) . v dxdy

$\int_{\Omega}\frac{du}{dx}\cdot\frac{dv}{dx}\operatorname*{dxdy}=-\int_{\Omega }Log(1+x+y).v\operatorname*{dxdy}$

我不知道解决方案的空间是什么，我不确定这个公式是否正确，因为我没有得到与公式相关的问题的结果，我将非常感谢帮助我找到一些书，我们有一些像这样的例子吗？

1个回答

如前所述，弱公式是正确的。您正在寻找解决方案的空间是这也是测试函数的来源。

X = {v \in L_{2} : \int (\partial x)^{2} < \infty, v (0, y) = 0, v (1, y) = 0}

$X = \{ v \in L_2 : \int (\partial x)^2 < \infty, v(0,y)=0, v(1,y)=0 \}$

我会注意到，在这个问题中，盒子的底部和顶部还有另外两个边界条件（即和）。但这些不能强制执行，因此是无效的。这可以通过考虑您遇到的问题实际上是两点边值问题来看出：对于每个，您必须找到一个函数以便换句话说，解恰好无论它是基于右手边和左右边界值的任何东西，附近值作为结果， $y=0$ $y=1$ $y$ $u_y(x) = u(x,y)$

u_{y}^{″} (x) = \log (1 + x + y), u_{y} (0) = 0, u_{y} (1) = 0

$u_y''(x) = \log(1+x+y), \\ u_y(0) = 0, \\ u_y(1) = 0$

u_{0} (x) = u (x, y = 0)

$u_0(x)=u(x,y=0)$

u_{y} (x)

$u_y(x)$

y

$y$

\partial y u_{y} (x)

$\partial y u_y(x)$ 也就是它是什么 - 你不能强迫它为零（并且基于右手边有人可能会怀疑）。

\log (1 + x + y)

$\log(1+x+y)$

\partial_{y} u_{y} (x) \neq 0

$\partial_y u_y(x) \neq 0$

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