我想找到非线性泊松方程稳定性的表达式。据我所知，我知道适用于线性方程的冯诺依曼稳定性分析。有什么建议如何分析稳定性？

我试图解决的方程是：

$$-\frac{\partial ^{2}\phi}{\partial \tau^{2}}+\alpha\frac{1}{r'^{2}}\frac{\partial}{\partial r'}\left(r'^{2}\frac{\partial\phi}{\partial r'}\right) = \left(\frac{\gamma}{\phi^{n+1}}+\beta\right)\,.$$

我的离散化看起来像：

$$a\phi_{i-2,j}-2a\phi_{i-1,j}+b\phi_{i,j+1}+ c\phi_{i,j-1}+d= e \phi_{i,j}+\frac{h}{\phi_{i,j}^{n+1}}$$

$a, b, c, d, e, h$是常数，并且$i$和$j$指数代表时间和半径。