有人可以说来自股票或商品（价格）的离散时间序列来自连续时间过程吗？

我会说“不”。股票的价格由交易决定，每笔交易都是时间上的离散事件。我认为交易之间的价格是不确定的，因为您无法进行任何实验来确定交易之间的价格是多少。

你当然可以构建一个插值机制，但是不同的插值会给你不同的答案，我认为没有办法判断哪个是“更好”或“正确”。

这里的问题是：您打算如何处理答案？你能想象在什么情况下假设一个潜在的连续过程（或不是）会产生影响？

1. 对于整个世界，以我们目前的技术能力，我们无法确定现实世界中是否存在连续的时间过程。

   问题是时间测量之间的差异程度。如果你的差异程度是$\Delta t$那么你不能说此刻发生了什么$t_0 + \Delta t/2$要么$t_0 + \Delta t$. 从您的角度来看，这些事件同时发生。所以，你的观察总是离散的。

   物理（理论）差异程度是普朗克时间，大约是$10^{-44}\ \text{s}$.

   最好的技术分辨率是$10^{-19}\ \text{s}$命令。

   所以，有两种选择：

   1. 世界是离散的，普朗克时间为$\Delta t$
   2. 世界是连续的，但我们看不到它

   如果我们可以测量接近普朗克的时间并比较这两个模型生成的预测，我们可以在这些选项之间进行选择。但我们还不能。

2. 对于股票和大宗商品，基本过程（几乎）绝对是离散的。

   差异程度是在交易所运行交易的服务器上计时器的分辨率。我没有服务器的数字，但对于 PC 上的 Windows，定时器的分辨率约为 60 毫秒，多媒体高精度定时器的分辨率为 1 毫秒。但是，无论如何，最小程度是一个 CPU 或内存周期。两者之间没有任何东西。

   （几乎，如果我们不考虑物理实现：数据如何写入内存、存储或通过网络传输，并且不考虑无线电衰减的软错误）

3. 人们可能会争辩说，股票或商品在任何时候都有价值，因此存在连续时间的价格/价值曲线

   这是不对的。考虑超卖或只是非流动性市场。股票或商品对买卖双方具有不同的价值。卖家对该股票的估值高于买家，因此他们无法达成交易。但是您作为外部浏览器无法看到这些值，而只能看到最后一笔交易的价格。

   如果您想朝这个方向发展，请寻找订单簿模型。

   如果我们只考虑一个人的股票或商品（或任何拥有或想要的东西）的价值，他就不能不断地分配这个价值。定价、估价是需要时间的自愿行为。即使股票交易者在他的所有工作时间里只考虑一只股票（而不是其他），他仍然无法立即重新评估它。计算机和算法也不能。即使他们可以，我们仍然无法不断地测量它。所以，它也不是连续的。

4. 与离散时间模型相比有什么优势吗？

   是的。连续过程的数学要容易得多，也更发达。

   因此，可能很难回答 #1 中提出的问题并得出 #2 中的结论。一种模型是先进的，但在假设上可能略有不正确。另一个可能从一开始就正确，但可以从中推断出不太有用的见解。

   哪一个会给你更好的答案？大多数研究人员使用连续模型。

   IMO，如果您分析 1 秒或更短的时间范围，特别是 HFT，那么认真考虑离散模型是有意义的。对于所有更长的时间范围，连续模型和离散模型之间的差异是微不足道的，假设该过程不是混沌理论研究的东西。但这只是一个意见，我没有检查它。

PS如果您想得更多，您会发现对于价格之类的事情也没有时间过程和概率。但我不确定你应该这样做。

您的问题的官方答案是：随机过程（时间序列）可以分为连续时间或离散时间。其中一些离散时间过程来自连续时间过程的采样，但一些离散时间过程自然发生，例如每日股票市场价值或太阳黑点数。

这一段存在于大多数统计数字信号处理教科书中。很明显，股市数据被认为是一个自然的离散时间过程。

然而，从基本概率论可知，如果连续时间狄拉克脉冲函数 $\delta(x)$如果允许使用，则任何概率分布（或密度）函数都可以建模为其变量的连续函数。这包括离散分布，例如扔硬币或骰子，排队的人数等......从这个角度来看，每个随机过程都可以被赋予一个连续时间模型（尽管包括狄拉克脉冲）。

另一方面，“量子”人会争辩说，每一个看起来连续的现象实际上都是离散的（这也否认了狄拉克脉冲的存在），因此你总是可以使用离散量对任何实际事物进行建模。

实践者的回答是：选择能够对现象产生最有用和最易处理的描述的模型。

在经济学领域，大多数事情自然是离散地发生的：生产和销售的物品数量、客户数量、交易数量、价格变化时间等……这些通常是离散的。

但是您可以将价格建模为一个连续时间变量，该变量仅在特定时刻改变其值。或者您甚至可以根据时间序列的连续变化函数对其进行建模，这在 RBJ 的答案中有所概述，这是由时间序列的带限插值产生的。然而，假设股票市场价格的带限模型有时可能是不够的......

好吧，我认为我们通常 认为是这样。并且连续时间信号“基础”被限制在奈奎斯特频率以下。

如果离散时间序列是$x[n]$（和$n$只能是整数），则“基础”连续时间信号为：

$$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \operatorname{sinc}(t-n)$$

在哪里

$$\operatorname{sinc}(u) \triangleq \begin{cases} 1 \qquad & \text{for } \ u = 0 \\ \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} \qquad & \text{for } \ u \ne 0 \\ \end{cases}$$

你会注意到$x(t)$被定义为所有真实的$t \in \mathbb{R}$， 虽然$x[n]$仅定义为$n \in \mathbb{Z}$. 和$x(t)$对连续导数是平滑的，只要所有的$x[n]$是有限的。

什么时候$t=n$然后

$$x(t)\Big|_{t=n} = x[n]$$