Phonon 的答案的一个更简单的版本如下。

假设$y$表示系统对单位阶跃函数的响应。然后，正如在这个答案中所讨论的， 一般来说， y是脉冲响应的缩放$y$副本和时间延迟副本的总和，在这种特殊情况下，不需要缩放；只有时间延迟。因此， \begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1 ] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align} 其中每个右侧的列是（未缩放和）时间延迟的脉冲响应。因此，我们很容易得到 \begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2] -y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &

是的，在离散系统情况下也是如此。这种情况下的微分运算被一阶差分代替。它认为它没有通用符号，但我们称它为。此操作等效于使用过滤您的信号。我们称这个过滤器。我将用符号表示卷积。$D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

现在让我们将我们所知道的关于卷积的知识应用到这个算子上。我们知道我们上获得 了带有运行总和（离散积分器）的 n] 。事实上，由表示的系统本身就是这个离散积分器。另请注意，这两个运算符彼此相反，特别是。$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

现在，我们知道卷积是可交换的，即

和关联，即

所以，

因此，您可以看到您可以通过应用一阶差分从，就像在连续情况下一样。$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

假设：

• 连续时域：设 - 脉冲响应， - 阶跃响应$h(t)$$s(t)$
• 离散时域：设 - 单位脉冲响应和 - 单位阶跃响应$h[n]$$s[n]$

直观地说，连续时域的积分相当于离散时域的求和。类似地，连续时域的导数等价于离散域的有限差分。

和之间的关系（您帖子中第二个等式的左侧）：$u$$\delta$

• 连续时域： $u(t) = \int \delta(t)$
• 离散时域： $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

和之间的关系（您帖子中第二个等式的右侧）：$s$$h$

• 连续时域： $s(t) = \int h(t)$
• 离散时域： $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

现在，如果您仔细查看最后一个等式：

现在可以从这个方程中找到，使用有限差分和它自身的延迟版本，即使用：$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$