你是对的。您的最后一个方程式只是一种奇特的说法$X(f)$是真正有价值的。

一般来说：如果它在一个域中是真实的，那么它在另一个域中是共轭对称的。

是的，如果等式。(2) 和 (3) 对任何“信号类型”（它们确实如此）都成立，那么 (5) 必须成立。

将 (4) 代入 (2) 我们得到

如果我们替换$f = - g$我们得到

@Deve 和 @Hilmar 的答案在技术上是完美的。我想提供一些额外的见解，还有几个问题。

首先，您是否知道满足这种反时/共轭恒等式的信号：

第一个明显的想法是在真实和对称信号之间进行选择。傅里叶框架中的自然之一是余弦。

现在，让我们变得更复杂一些（双关语）。

那么第二，真正的正弦呢？它是反对称的。但如果你还记得$i^*=-i$， 功能$t\to i.\sin t$也成为解决方案。因此，通过可加性，函数

（称为复指数或 cisoid）也是一种解决方案。它的傅里叶变换（作为一个广义函数）确实是真实的（尽管不知何故“无限”）。更进一步，任何具有实系数的cisoid的线性组合都可以做到这一点。

您的问题说明了傅立叶对偶的重要性，以及如何使用它可以简化一些问题。如实信号的 DTFT 对称性中所示：

换句话说，如果一个信号$x(n)$是实数，则它的频谱是 Hermitian（“共轭对称”）。

在这里，您的基本信号$x$是 Hermitian，傅立叶版本是真实的。所以为了更好地理解它，想象一下$t$是频率变量，并且$f$是它的时间对偶。地球物理信号和波/复杂对称特性的数字分析中提供了标准表示。

它也被称为Heyser 开瓶器/螺旋。