事实上，我想我明白为什么了。

$|X(j\Omega)|$是纯粹真实的，因此如果我们采用 IFT，它是均匀且对称的。

$\theta(\Omega)= a\Omega$因为相位是线性的，所以$e^{-ja\Omega}$只是在时域中移动相应的偶数和对称幅度，因此得到的脉冲响应是关于对称的$a$.

实际上，这不是必需的，具体取决于您如何定义“过滤器”。Clements 和 Pease推导出了一个无法实现的滤波器，它是线性相位，但没有任何对称性。

过滤器没有用，因为它们无法实现，但这是一个有趣的思考问题。

正如 Peter K. 的回答所指出的，具有线性相位的离散时间系统没有必要具有任何对称性。

CAJ 的论点朝着正确的方向发展，但请注意$e^{-jk\Omega}$只是一个简单的离散样本延迟，如果$k \in \mathbb{Z}$. 更重要的是，$e^{-jk\Omega}$并不总是保持输入信号的对称性。

一种实现方式$e^{-jk\Omega}$就是用sinc插值将离散时间输入转换为连续时间，延迟等效时间$k$采样，并重新采样信号。

这是信号的示例$[...,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ ...]$“延迟”具有不同的值$k$. 第一张图是原始信号，然后是延迟的输出$k=1$,$k=1.5$和$k=1.75$样品。虚线是每个信号的 sinc 插值。

请注意，当$2k \notin \mathbb{Z}$，如上图所示，输入信号的对称性丢失了，因此 CAJ 的论点仅对$2k \in \mathbb{Z}$.

虽然不能保证线性相位离散时间滤波器的脉冲响应的对称性，但可以保证信号的连续 sinc 插值的对称性。

具有线性相位且没有对称性的滤波器的一个示例恰好是$e^{-jk\Omega}$对于任何$2k\notin \mathbb{Z}$. 然而有趣的是，这个频率响应不是一个有理函数$z=e^{j\Omega}$, 所以不能用典型的 IIR 差分方程法来实现。

事实证明，在脉冲响应不一定对称的情况下，所以当$2k \notin \mathbb{Z}$，脉冲响应的长度必然是无限的。这意味着对于 FIR 滤波器，因为有必要$2k \in \mathbb{Z}$，对称性被保留，因此 CAJ 的论点适用。

如果您想查看此答案中关于您自己研究的真实 FIR 滤波器的声明的一些数学论据，您可以在此处查看我的。请记住，我不是专家，所以它可能包含错误。如果你找到了，请告诉我。

关于该语言的一个重要细节是，当人们说线性相位时，他们通常并不是指严格的线性相位，如

它们通常表示广义线性相位，如

对于广义线性相位，如果滤波器响应是实数和有限的，则它可以是对称的或反对称的。

正如 Matt L. 在评论中指出的那样，有关不同类型的广义线性相位 FIR 滤波器的更多详细信息，您可以阅读此问题。