毫无疑问，维基百科和其他地方有很多关于卷积、它与线性系统的关系以及它与频率分析的链接的链接和说明，但我认为这不是你所追求的。

暂时忘记卷积。只考虑平均值：

如果我给你一连串的说法，$10$数字，并要求你取平均值，你可以很容易地做到这一点。

让我们说我给你另一套$10$再次数字，并要求您取平均值。你可以再次，非常容易地做到这一点。

我一直给你一套$10$数字，你一直给我平均数。多么美好的生活！

现在想象我告诉你一个秘密：那些$10$我给你的数字实际上是从一长串数字中提取的。事实上，我有一个清单$100$数字。第一组$10$我给你的数字是第一个$10$该列表的编号。（第一个样品到第 10 个样品）。你平均了他们。

第二个名单$10$数字实际上是第 2 个样本，到第 11 个样本。你平均了他们。

第三个名单$10$我给你的数字实际上是第 3 个样本，到第 12 个样本。你平均了他们。

毕竟，我请你把你给我的所有平均值一个接一个地画出来。

恭喜！你刚刚向我展示了一个卷积结果！

（免责声明：我跳过了一些边界条件，但这基本上是卷积的全部内容）。

因此，总而言之，将卷积视为滑动平均值。

现在，记住我说的“平均”那些$10$我给你的号码？那么你也可以做一个加权平均。（也就是说，而不是将所有$10$数字由$1$在平均它们之前，我们将它们乘以不同的数字，然后再平均它们。这是加权平均值）。不过，这仍然是一个卷积。我们称这些数字为“权重”，有时它们被称为“过滤器内核”。

一些高级系统实际上在运行时会改变它们的权重，它们被称为自适应滤波器。

不管怎样，这应该为您提供一个坚实的直觉：只要记住卷积可以被认为是 - 是 - 数据的移动平均值。希望有帮助！

卷积在数学中表达了如何获得线性时不变（LTI）系统的输出以响应任意输入 - 如果您知道脉冲响应。采用具有脉冲响应 h[t] 的离散时间系统，因此如果我输入脉冲，我会在输出端得到 h[t]。

现在，如果我想知道给定输入 x[n] = [1 2 1] 的输出，您所做的就是将此输入分解为 3 个脉冲，即我们查看 3 个单独的输入序列 [1 0 0]、[0 2 0] 和 [0 0 1]。我们想要的输入是这 3 个输入的总和。因为我们的系统是 LTI，所以输入之和的输出就是输出之和。

因为我们的输入是脉冲，所以输出将被简单地缩放和延迟版本的脉冲响应（同样是因为 LTI 系统的定义）

所以每个输入的输出是：
[1 0 0] -> 1*h[t]
[0 2 0] -> 2*h[t-1]
[0 0 1] -> 1*h[t-2 ]

因此，将左侧和右侧相加，我们得到
[1 2 1] -> 1*h[t] + 2*h[t-1] + 1*h[t-2]

所以卷积只是简单地将脉冲响应的延迟和缩放版本相加。缩放和延迟因子只是与输入信号相关的幅度和延迟。

通常卷积公式看起来很尴尬，因为输出是在特定时间点写入的，即 y[2] 的值是多少？在上面的示例中，我们必须从每个输出信号中获取第三个点，即 1*h[2]、2*h[1]、1*h[0]。看到这个让
你${}_0$[t] =1*h[t]
y${}_1$[t] =2*h[t-1]
y${}_3$[t] =1*h[t-2]
因此我们可以看到
y${}_0$[2] = 1*h[2] = 1*h[2]
是${}_1$[2] = 2*h[2-1] = 2*h[1]
是${}_3$[2] =1*h[2-2] = 1*h[0]

总输出是通过将这些相加得到的，即
y[2] = 1*h[2]+ 2*h[1]+1*h[0]

但是看到这也可以写成：
y[2]= x[0]*h[2] + x[1]*h[1] + x[2]*h[0]

我上面所做的只是用输入信号 x[] 的相应索引替换缩放。

如果我们在任意时间编写输出信号的公式，y[n] - 结果就是卷积公式。所以卷积公式是具有线性时不变系统和该系统的脉冲响应的结果。