信息处理 - 我的变换是 DFT 的本质吗？ - 吾爱随笔录

我的变换是 DFT 的本质吗？

信息处理离散信号傅里叶变换

2021-12-24 07:40:20

我是一个刚刚学习DSP的人，想了解它的本质。我的变换是最简单的。输入信号只是一个频率：$256\textrm{ Hz}$。采样频率为$2560\textrm{samples/sec}$，所以$10\textrm{samples}$对应一个周期（周期）。我将它与两个测试频率相关联：一个等于输入，另一个是它的两倍：$2\cdot 256\textrm{ Hz} = 512\textrm{ Hz}$。我只关联了 $10\textrm{ samples}$，所以相关性没有移动。 $256\textrm{ Hz}$ . Sampling frequency is $2560\textrm{ samples/sec}$ , so $10\textrm{ samples}$ correspond to one cycle (period). I correlate it with two testing frequencies: one equal to input and other double of it: $2\cdot 256\textrm{ Hz} = 512\textrm{ Hz}$ . I correlate only $10\textrm{ samples}$ so correlation is not moving.

第一个相关性：输入样本在第一列，测试频率（相等）在第二列：

0 x 0 = 0
 0.587785252292 x 0.587785252292 = 0.345491502812
 0.951056516295 x 0.951056516295 = 0.904508497187
 0.951056516295 x 0.951056516295 = 0.904508497187
 0.587785252292 x 0.587785252292 = 0.345491502812
 0 x 0 = 0
-0.587785252292 x -0.587785252292 = 0.345491502812
-0.951056516295 x -0.951056516295 = 0.904508497187
-0.951056516295 x -0.951056516295 = 0.904508497187
-0.587785252292 x -0.587785252292 = 0.345491502812
        产品总和（平方）= 5

因为每个实数的平方都是正数，所以总和是大数。除以 10 美元得到 0.5 美元。鉴于它是正弦乘积的平均值是显着数字，所以我得出结论频率 $256\textrm{ Hz}$ 确实存在于信号中。

10

$10$ yields

0.5

$0.5$ . Given that it is mean of products of sines is significant number, so I conclude frequency

256 Hz

$256\textrm{ Hz}$ does exist in the signal.

2 相关性。输入样本在第一列，测试频率在第二列：

0 x 0 = 0
 0.587785252292 x 0.951056516295 = 0.559016994374
 0.951056516295 x 0.587785252292 = 0.559016994374
 0.951056516295 x -0.587785252292 = -0.559016994374
 0.587785252292 x -0.951056516295 = -0.559016994374
 0 x 0 = 0
-0.587785252292 x 0.951056516295 = -0.559016994374
-0.951056516295 x 0.587785252292 = -0.559016994374
-0.951056516295 x -0.587785252292 = 0.559016994374
-0.587785252292 x -0.951056516295 = 0.559016994374
                  产品总和 = 0

因为一半产品与另一半相对，所以总和为 0 美元。这意味着信号中不存在频率 $512\textrm{ Hz}$。

0

$0$ . It means frequency

512 Hz

$512\textrm{ Hz}$ does not exist in the signal.

我的问题：这就是 DFT 的本质吗？

2个回答

我想你可以简单地说这就是 DFT 的本质。请注意，DFT 与复指数相关：

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N}\tag{1}$

您刚刚计算了 $(1)$ 的（负）虚部（对于 $k=2$）： $(1)$ (for $k=2$ ):

\begin{matrix} (2) & - X_{I} [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] \sin (2 π n k / N) \end{matrix}

$-X_I[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\sin(2\pi nk/N)\tag{2}$

对于您的示例，这也足够了，因为实部为零，因为您的信号 $x[n]$ 是正弦波的一个完整周期。但是，假设您为信号添加了一个相位，那么您还需要 $(1)$ 的实部。在最坏的情况下，您可以为 $x[n]$ 选择一个余弦值，如果您只是与 $(2)$ 中的正弦函数相关，那么即使在相同频率下，相关性也会为零。 $x[n]$ is one full period of a sine wave. However, imagine you added a phase to your signal, then you would also need the real part of $(1)$ . In the worst case you could choose a cosine for $x[n]$ , which would give you a correlation of zero, even for the same frequency, if you just correlated with sine functions as in $(2)$ .

即使您将 DFT的本质理解为： “ ...计算给定采样信号和一组（谐波）测试信号之间的相关性 ... "是真的，您对其结果的解释可能有点不完整... $x[n]$ $e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$

也就是说：当频率为的 DFT 计算不为零时，这并不意味着在被分析的信号内部存在该频率的纯正弦波。 $256\textrm{ Hz}$

为了澄清这一点，请考虑以下问题：采样信号（我们称之为 DTFT - 离散时间傅里叶变换）的真实 $x[n]$

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{x[n]e^{-j\omega n}}$

并且有相同（但作为的有限长度）信号的计算频谱（我们称之为 DFT - 离散傅里叶变换）。 $N$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{2 π}{N} k n}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}{x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}$

很明显：这个计算的频谱 DFT是真实频谱 DTFT的样本，它本身是频域中的连续函数（和因此原则上不能在任何计算机系统内表示） $X[k]$ $X(e^{j\omega})$

因此，由于对真实光谱的采样和从无限长度到有限长度的窗口化，一些误解是可能的。

作为示例，请查看以下 Matlab 代码：

Fs = 8000;              % sampling frequency, in Hz.
Ts = 1/Fs;              % sampling period Ts = 1/Fs.
M  = 128;               % number of signal samples to be obtained
N  = 1024;              % DFT analysis length (i.e. N-Point DFT applied)
n  = [0:M-1];           % sequence indice for x[n]
tn  = n*Ts;             % analog sampling times for xc(t)
fx  = 30*(Fs/N);        % analog signal frequency
x  = cos(2*pi*fx*tn);   % discrete time sampled signal x[n]

现在有了和的第一个值，可以得到以下两个采样信号及其 DFT幅度的图：模拟信号的 128 个样本绘制。 $M=128$ $N=1024$ $x[n]$ $X[k]$

和相应的 DFT 幅度::

对于（与相同）显示较长信号的前 128 个样本： $M=1024$ $N$

现在的新频谱是：

查看以相同速率采样但持续时间不同的相同信号的这些图，我们清楚地看到了窗口效应和假设的 DFT 周期性。为简单起见，正如您在第一个频谱中看到的那样， DFT 的非零样本与所分析的信号不对应。事实上，在第二DFT曲线图中，这些非零谱样本被迫在第二DFT曲线中被强制选择信号持续时间和分析窗口长度。事实上，在第二个 DFT 图中，只有一个非零样本正好处于信号频率。

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