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LTI 因果系统的实部和虚部之间的关系

信息处理频谱频率响应转换功能希尔伯特变换

2022-01-12 09:42:10

序幕

我正在写一篇详尽的文章，讨论 LTI 因果系统的实部和虚部之间的关系，以及稳定性、因果性和分析性如何对其幅度响应和相位响应施加各种约束。我试图解释三个主题

Kramers Kronig 关系
Bode 的增益相位关系
希尔伯特变换关系

最后，解释三者之间的联系及其实际意义。我觉得，对于像我这样进入这个领域的人来说，这是一个急需的文本。我有一个问题清单，我觉得这些问题必须在相同的背景下——请耐心回答，并善意地指出任何错误。

问题

文本Kramers-Kronig Bode 和 John Bechhoefe 的零的含义提供了增益相位关系的简短推导。

在推导增益相位关系时采用响应函数的对数的动机是什么？

Kramers Kronig (KK) 关系只需要一个因果系统（在复数的上半部分解析 $\omega$ -plane）并且不谈论稳定性。

Bode 的增益相位关系需要一个最小相位系统，在复数的上半部分没有零 $\omega$ -平面，对于非最小相位，它变成一个不等式。换句话说，Bode 的增益-相位关系要求响应函数必须服从 KK 关系。
那么，Gain-Phase 关系是否也是 KK 关系的一个特例，它也解释了稳定性？
时域中的因果关系意味着频域中的分析性，反之亦然。我的说法是真的吗？
希尔伯特变换关系和KK关系如何关联？通过希尔伯特变换关系，我的意思是以下（对于离散情况）：
$H_{I m} (ω) = - \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} H_{R e} (λ) \cot (\frac{ω - λ}{2}) d λ .$ $H_{Im}(\omega)=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi H_{Re}(\lambda)\cot(\frac{\omega-\lambda}{2})d\lambda.$ 对于给定的响应函数 $H(\omega)=H_{Re}(\omega) +j H_{Im}(\omega)$ .
这些关系如何扩展到更高的维度？（用于图像和视频）。

感谢您的耐心等待。

2个回答

我相信动机是使数学更容易。没有对数，你有 $G(\omega)=|G(\omega)|e^{j\angle G(\omega)}$ . 通过取对数，你有 $\ln G(\omega)=\ln |G(\omega)|+j\angle G(\omega)$ ; 通过去除指数函数并将其转化为和，之间的关系 $|G(\omega)|$ 和 $\angle G(\omega)$ 变得更容易处理。

KK只要求因果关系和线性关系。Bode 更严格，因为它也要求平面的上半部分没有零（但请务必查看论文中的注释 16）。
据我所知，零的实部的值是无关紧要的；只有他们的存在才重要。因此，稳定性根本不涉及此分析。
暗示（因果 -> 分析半平面）是正确的。我相信“反之亦然”（iff）仅适用于稳定的系统，但我不是 100% 确定。

我不知道你的问题 4 和 5 的答案。

我认识的人的精选答案

(1.) Bode 增益-相位关系给出了系统的一种可能实现的关系。最小相位约束“将其确定下来”，可以说，如果幅度响应已知，则确定相位响应。然而，它并不是唯一一个具有幅度响应的物理可实现系统，只是具有最小相位的系统。换句话说，幅度响应并不能唯一地识别系统。这本书是一本极好的参考书，它可能会回答你所有的 5 个问题。

(4.) 据我了解，据我所知，Kramers -Kronig 关系只是说明频率响应函数的实部和虚部形成希尔伯特变换对。

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