加权标准差的公式为：

$$\sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^N w_i (x_i - \bar{x}^*)^2 }{ \frac{(M-1)}{M} \sum_{i=1}^N w_i } },$$

在哪里

$N$是观察次数。

$M$是非零权重的数量。

$w_i$是权重

$x_i$是观察值。

$\bar{x}^*$是加权平均值。

请记住，加权平均值的公式是：

$$\bar{x}^* = \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_i}{\sum_{i=1}^N w_i}.$$

使用适当的权重来获得所需的结果。在您的情况下，我建议使用。$\frac{\mbox{Number of cases in segment}}{\mbox{Total number of cases}}$

要在 Excel 中执行此操作，您需要先计算加权平均值。然后在单独的列中计算其余的一定很容易。$(x_i - \bar{x}^*)^2$

这些公式在各个地方都可用，包括 Wikipedia。

关键是要注意它取决于权重的含义。特别是，如果权重是频率（即您只是想避免将整个总和相加），如果权重实际上是每次测量的方差，或者如果它们只是一些外部值，您将得到不同的答案强加于您的数据。

在您的情况下，从表面上看，权重是频率，但它们不是。您从频率生成数据，但在数据集中拥有 45 条 3 的记录和 15 条 4 的记录并不是一件简单的事情。相反，您需要使用最后一种方法。（实际上，所有这些都是垃圾——你真的需要使用更复杂的模型来生成这些数字！你显然没有吐出正态分布数字的东西，所以用标准偏差来表征系统这不是正确的做法。）

在任何情况下，具有“可靠性”权重的方差公式（以正常方式计算标准偏差）是

$${ \sum {w_i (x_i - x^*)^2} \over {\sum w_i - {\sum w_i^2 \over \sum w_i }} }$$

其中是加权平均值。$x^* = \sum w_i x_i / \sum w_i$

您没有对权重的估计，我假设您希望将其与可靠性成正比。即使它们是由伯努利过程生成的，以你的方式取百分比也会使分析变得棘手，因为如果你得到 20 和 0 的分数，你就有无限的百分比。通过 SEM 的倒数加权是一种常见且有时最佳的做法。您或许应该使用贝叶斯估计或威尔逊得分区间。

=SQRT(SUM(G7:G16*(H7:H16-(SUMPRODUCT(G7:G16,H7:H16)/SUM(G7:G16)))^2)/
     ((COUNTIFS(G7:G16,"<>0")-1)/COUNTIFS(G7:G16,"<>0")*SUM(G7:G16)))

列G是权重，列H是值

如果我们将权重视为概率，那么我们按如下方式构建它们： 其中 - 数据量。

$$p_i=\frac{v_i}{\sum_iv_i},$$ $v_i$

接下来，显然加权平均值是

$$\hat\mu=\sum_ip_ix_i,$$ 和方差： $$\hat\sigma^2=\sum_ip_i(x_i-\hat\mu)^2$$